t时刻质点位于S球面x2+y2+22-a2t2=0上的一点M0(x,y,z);1=1+d时刻质点位 于S球面x2+y2+22-a2t2=0上的一点M(x+,y+dh2+)。d是实位移。满足 f(x+d,y+d;z+,1+d)=(x+d)2+(y+b)+(=+)2-a2(+d)=0 相减得2xdx+2yy+2zd-2a2ub=0,即Vfd+dh=0 可f.可A,..可 af, af. af 2 另一点M。(x+6x,y+δyz+6=)在S球的切平面内距M0无限小。SF=M0M是虚位移 满足方程f·δ产=0,与稳定球面约束对实位移所加的限制相同。 综上所述,我们把实位移和虚位移这两个概念列表比较如下 实位移d 虚位移δF 在时间间隔dt真实发生的位移 在某一时刻想象发生的位移(ot=0) 满足约束方程v.d+am=0 满足约束方程f·or=0 并满足动力学方程 不要求满足动力学方程 唯一确定 不唯一(有无限多个) 力学中的概念(真实发生的位移) 几何学中的概念(刻画约束曲面的切平面) 以上讨论很容易推广到n个质点组成的质点系,动力学方程为 m=F+N 其中E为第i个质点所受主动力,N为第i个质点所受约束力 有k个完整约束fG…F,1)=0a=12,…k使独立的坐标数目减少k个。 完整约束加在实位移上的条件为∑VJ后的+9fn,_0a=12…k at 其中c还应满足动力学方程,是唯一确定的。完整约束加在虚位移上的条件为 V,J·δ=0a=1,2,…k使独立的坐标变分(虚位移)数目也减少了k个。由此可见,独 立的坐标的数目和独立的坐标的变分的数目是相等的 对于非完整体系,如果还有g个线性非完整约束 ∑(n)++9)+d=0B=12g2 t 时刻质点位于 S 球面 2 2 2 2 2 x y z a t + + − = 0 上的一点 M0 ( , , ) x y z ； 1 t t dt = + 时刻质点位 于 1 S 球面 2 2 2 2 2 1 x y z a t + + − = 0 上的一点 M x dx y dy z dz 1 ( + + + , , ) 。dr 是实位移。满足 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 f x dx y dy z dz t dt x dx y dy z dz a t dt + + + + = + + + + + − + = , , , 0 相减得 2 2 2 2 2 0 xdx ydy zdz a tdt + + − = ，即 0 f f dr dt t    + =  或 0 f f f f dx dy dz dt x y z t     + + + =     ， 即 0 f f f f x y z x y z t     + + + =     另一点 M0  ( , , ) x x y y z z + + +    在 S 球的切平面内距 M0 无限小。 0 0  r M M =  是虚位移 满足方程 f  r = 0   ，与稳定球面约束对实位移所加的限制相同。 综上所述，我们把实位移和虚位移这两个概念列表比较如下： 实位移 dr 虚位移  r 在时间间隔 dt 真实发生的位移 在某一时刻想象发生的位移 (t = 0) 满足约束方程 0 f f dr dt t    + =  满足约束方程   = f r  0 并满足动力学方程 不要求满足动力学方程 唯一确定 不唯一（有无限多个） 力学中的概念（真实发生的位移） 几何学中的概念（刻画约束曲面的切平面） 以上讨论很容易推广到 n 个质点组成的质点系，动力学方程为： i i Fi Ni m r     = ＋ 其中 Fi 为第 i 个质点所受主动力， Ni 为第 i 个质点所受约束力。 有 k 个完整约束 f (r1 , rn ,t) = 0      =1,2, k 使独立的坐标数目减少 k 个。 完整约束加在实位移上的条件为 0 1 =     + = dt t f f dr n i i i     =1,2, k 其中 i dr  还应满足动力学方程，是唯一确定的。完整约束加在虚位移上的条件为 1 0 n i i i f r   =   = ＝1，2，k 使独立的坐标变分（虚位移）数目也减少了 k 个。由此可见，独 立的坐标的数目和独立的坐标的变分的数目是相等的。 对于非完整体系， 如果还有 g 个线性非完整约束 ( ) 1 0 N i i i i i i i a x b y c z d     =  + + + =  = 1,2, g