其中aB;,b;,CB;,d2均为坐标和时间的函数 线性非完整约束加在实位移上的条件是∑(am+bah+ca)+dd=0 把d改成δ并取δt=0,就得到线性非完整约束加在虚位移上的条件: ∑(an。bx+bby+cb=)=0 比较上两式可知,对于线性非完整约束,实位移是否与某一个虚位移相同,就看dp是否为零。也就 是约束方程对于速度是否齐次。几何约束加在虚、实位移上的条件和线性非完整约束具有相似的形式 (Pa∥形式)。不同点在于前者可以积分:后者不可积分,不能像完整约束那样对广义坐标加以限 制。因此,非完整约束使独立的坐标变分数目减少,而并不减少独立坐标的数目。 我们把力与虚位移的内积F·δF称为虚功,这是因为它与功的形式F·相仿,虽然虚功实际 上并不是功。虚功可以用来刻划约束和约束力的某些特点(参阅下节理想约束) 对于光滑曲面约束,约束力N应沿着曲面的法线方向(即f的方向)。但对于非稳定的光滑曲 面,约束力一般不与实位移垂直,∵C=8F+d其中:=d-6F是牵连位移,由于约束随时 间变化而引起的。即使质点“静止”,由于约束变化引起布∴N·d≠0,也就是说,即使曲面是光滑 约束力仍可能做功。然而无论稳定与否,只要约束曲面是光滑的,约束力与虚位移垂直,即N·δF=0 (光滑曲面约束力的虚功为零),这样,引入了虚位移和虚功的概念,就得到可能消去光滑曲面(无论 稳定与否)的约束力的一种途径 2.理想约束达朗贝尔原理达朗贝尔方程 我们来考虑一般的有完整约束的质点系。动力学方程为m=F+N1=1,2,…,n 约束方程(当然不限于曲面约束)为:f(,2…,,1)=0a=12,…k 对动力学方程移项,可得F+N-mF=0i=1,2,…,n(称为达朗贝尔原理) 如果约束力的虚功之和为零,即满足∑N6=0,(满足此条件的约束称为理想约束)则上述动力学 方程就可化为∑(F一m)=0这个方程称为达朗贝尔方程(或称为达朗贝尔一拉格朗日原理,又 称动力学基本方程)。显然,上述光滑曲面约束下单质点是理想约束的一个实例。我们回到图1.7的例 题,来看看达朗贝尔方程应如何写出 由于m1=m,m2=mF=0,F2=-mg,N1=-F,N2=Fk我们得到3 其中    d  a ,b ,c , i i i 均为坐标和时间的函数。 线性非完整约束加在实位移上的条件是 ( ) 1 0 N i i i i i i i a dx b dy c dz d dt     =  + + + = 把 d 改成  , 并取 t = 0 ，就得到线性非完整约束加在虚位移上的条件： ( ) 1 0 N i i i i i i i a x b y c z       =  + + =  = 1,2, g 比较上两式可知，对于线性非完整约束，实位移是否与某一个虚位移相同，就看 d 是否为零。也就 是约束方程对于速度是否齐次。几何约束加在虚、实位移上的条件和线性非完整约束具有相似的形式 （ Pfaff 形式）。不同点在于前者可以积分；后者不可积分，不能像完整约束那样对广义坐标加以限 制。因此，非完整约束使独立的坐标变分数目减少，而并不减少独立坐标的数目。 我们把力与虚位移的内积 F r  称为虚功，这是因为它与功的形式 F dr    相仿，虽然虚功实际 上并不是功。虚功可以用来刻划约束和约束力的某些特点（参阅下节理想约束）。 对于光滑曲面约束，约束力 N 应沿着曲面的法线方向（即 f 的方向）。但对于非稳定的光滑曲 面，约束力一般不与实位移垂直，  1 dr r d r = +  其中： 1 dr dr r = − 是牵连位移，由于约束随时 间变化而引起的。即使质点“静止”，由于约束变化引起 1 dr  N dr   0 ，也就是说，即使曲面是光滑 的，约束力仍可能做功。然而无论稳定与否，只要约束曲面是光滑的，约束力与虚位移垂直，即 N r  =  0 （光滑曲面约束力的虚功为零），这样，引入了虚位移和虚功的概念，就得到可能消去光滑曲面（无论 稳定与否）的约束力的一种途径。 2．理想约束 达朗贝尔原理 达朗贝尔方程 我们来考虑一般的有完整约束的质点系。动力学方程为 m r F N i i i i = + i = 1,2,  , n 约束方程（当然不限于曲面约束）为： f r r r t k  ( 1 2 , , , , 0 1,2, n ) = =  对动力学方程移项，可得 0 F N m r i i i i + − = i = 1,2,  , n （称为达朗贝尔原理） 如果约束力的虚功之和为零，即满足 0 i i i N r  =  ，（满足此条件的约束称为理想约束）则上述动力学 方程就可化为 ( ) 0 i i i i i  F m r r −  =  这个方程称为达朗贝尔方程（或称为达朗贝尔－拉格朗日原理，又 称动力学基本方程）。显然，上述光滑曲面约束下单质点是理想约束的一个实例。我们回到图 1．7 的例 题，来看看达朗贝尔方程应如何写出： 由于 1 2 1 2 1 2 , 0, , , m m m m F F m gk N F e N F k T r T = = = = − = − =   我们得到