m一F一N=[m(-)+月+m(R+2R)。6元=0x+6y=6R已+R ,F2-F2-N,=(mE-F +mg k r=szk 由达朗贝尔原理可得(m-F-N1)D+(m22-F2-N2)Cn2=0 [m(R-R)+F]6R+m(+2月)RC0+(m2-F+mg)5=0 利用z=R-1,一方面可消去不独立坐标z,另一方面由于 N1·+N2·O=-FδR+F6z=0说明这是理想约束,从而得到达朗贝尔方程 [(m+m)R一mR分2+mg]6R+m(R+2R)R=0 变分δR,oq完全独立,系数各自为零,就得到两个方程。(与牛顿动力学方程消去约束力以后的方程相 同,见33页(5)(6)式 为了正确掌握达朗贝尔方程的适用范围,我们需要知道:哪些约束满足理想约束的条件? ①光滑曲面约束 光滑曲线约束(可仿上法进行讨论) (质点和刚体光滑表面的接触也属于上两者) 质量可忽略的刚性杆链接的两质点(刚体内部的约束也是理想约東) ④刚体间以光滑表面或完全粗糙表面(无滑动)相接触 轻软不可伸长的绳 ⑥理想的铰链 综上所述,我们可以看到 ①.理想约束是光滑曲面约束,曲线约束的推广,但不限于此。如果质点间连接是刚性的,轻的(可 忽略质量);刚体间用理想铰链相联结:质点与刚体或刚体与刚体间以理想光滑表面,或完全粗糙表 面相接触(没有相对滑动),所受到的约束也是理想约東。因此理想约束涵盖了相当广泛的一大类(没 有摩擦或摩檫力不做功的)复杂的由质点和刚体组成的力学体系。(参阅参考资料4.) .引进虚功而不讨论实际的功,讨论理想约束时也可把不稳定约束包括在内。 ⑥.出现摩檫力做功不能忽略的情况时,可将摩檫力看作未知主动力,(通过其他关系求出)而约束 仍可认为是理想的。 但是,理想约束并不限于上述各种情况,在某些摩檫力做功的不稳定约束情形下,仍可能是理想约束 (例如参考资料3习题4.7.第173页)因此我们判断一个约束是不是理想约束,还是应该根据定义 即条件∑N,·D7=0 3.力学体系的自由度 般地说,如果质点系有n个质点,有k个完整约束,g个线性非完整约束,则应有(n-k)个独立 的广义坐标,③n-k-g)个独立的广义坐标的变分。我们把s=3n-k-g叫做这个力学体系的自 由度。也就是说,力学体系的自由度数就是独立的广义坐标的变分的数目。由于完整体系的独立广义 坐标的数目和独立广义坐标的变分的数目是相等的,因此完整力学体系的自由度数目就是独立的广义 坐标的数目3n-k 3.2.拉格朗日方程(教材§2.3.)4 ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) T r T m r F N m R R F e m R R e m r F N m z F m g k     − − = − + + +     − − = − +   1 2 r r xi yj R e R e r zk         = + =  +  = 由达朗贝尔原理可得 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 m r F N r m r F N r − −  + − −  =   即 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 m R R F R m R R R m z F m g z       T T   − + + + + − + =     利用 z R l = − ，一方面可消去不独立坐标 z ，另一方面由于 1 1 2 2 0 N r N r F R F z     T T  +  = − + = 说明这是理想约束，从而得到达朗贝尔方程 ( ) ( ) 2   m m R mR mg R m R R R + − + + + =       2 0   变分   R, 完全独立，系数各自为零，就得到两个方程。（与牛顿动力学方程消去约束力以后的方程相 同，见 33 页（5）（6）式） 为了正确掌握达朗贝尔方程的适用范围，我们需要知道：哪些约束满足理想约束的条件？ ○1 光滑曲面约束 ○2 光滑曲线约束（可仿上法进行讨论） （质点和刚体光滑表面的接触也属于上两者） ○3 质量可忽略的刚性杆链接的两质点（刚体内部的约束也是理想约束） ○4 刚体间以光滑表面或完全粗糙表面（无滑动）相接触 ○5 轻软不可伸长的绳 ○6 理想的铰链 综上所述，我们可以看到， ○1 ．理想约束是光滑曲面约束，曲线约束的推广，但不限于此。如果质点间连接是刚性的，轻的（可 忽略质量）；刚体间用理想铰链相联结；质点与刚体或刚体与刚体间以理想光滑表面，或完全粗糙表 面相接触（没有相对滑动），所受到的约束也是理想约束。因此理想约束涵盖了相当广泛的一大类（没 有摩擦或摩檫力不做功的）复杂的由质点和刚体组成的力学体系。（参阅参考资料 4．） ○2 ．引进虚功而不讨论实际的功，讨论理想约束时也可把不稳定约束包括在内。 ○3 ．出现摩檫力做功不能忽略的情况时，可将摩檫力看作未知主动力，（通过其他关系求出）而约束 仍可认为是理想的。 但是，理想约束并不限于上述各种情况，在某些摩檫力做功的不稳定约束情形下，仍可能是理想约束。 （例如参考资料 3 习题 4．7．第 173 页）因此我们判断一个约束是不是理想约束，还是应该根据定义， 即条件 0 i i i N r  =  。 3．力学体系的自由度 一般地说，如果质点系有 n 个质点，有 k 个完整约束， g 个线性非完整约束，则应有 (3n − k) 个独立 的广义坐标，（3n − k − g） 个独立的广义坐标的变分。我们把 s = 3n − k − g 叫做这个力学体系的自 由度。也就是说，力学体系的自由度数就是独立的广义坐标的变分的数目。由于完整体系的独立广义 坐标的数目和独立广义坐标的变分的数目是相等的，因此完整力学体系的自由度数目就是独立的广义 坐标的数目 3n − k 。 3．2．拉格朗日方程（教材§2．3．）