1.第一类拉格朗日方程拉格朗日乘孑法(参阅参考资料1.§5.2第277页;参考资料4.§3) 2.(第二类)拉格朗日方程(基本形式的拉格朗日方程)的推导 为了方便地运用达朗贝尔方程,我们还需要用独立的广义坐标来表达。 从达朗贝尔方程∑(F-m)=0 出发,利用坐标变换(换为独立的广义坐标qn) 6q,得 F 中第一项∑F立 2FnQ称为对应于广义学标q,的广义力是主动力在红由广义学标构成的曲线坐标 系的)坐标曲线的切线方向上的投影之和(可能相差一个函数因子,其量纲也可能与力不同;因而广义力 可以不是力,例如:力矩也是一种广义力);第二项 ∑m ()+图]( 加速度乘以质量在对应的坐标曲线的切线方向上的投影之和(参阅第一章任意曲线坐标系)。其中 2分为动能。推导过程中运用了第一、第二两个经典拉格朗日关系 d arar av 代入达朗贝尔方程,得∑Q 由于ca是相互独立的(这里就用到了约束的完整性。如果有非完整约束,即使对于独立的广义坐标qn 其变分δq也不完全独立),就得理想、完整体系的普遍方程一一拉格朗日方程 d at aT a=1.2.…s dt aq aq 【思考】①为什么不能直接令达朗贝尔方程(1)中各项系数为零而能够令(2)式中各项系数为零? 对于直角坐标和平面极坐标分别讨论拉格朗日方程中(3)的各项的具体形式和它们的物理意义 3.拉格朗日方程的各种形式 (1)基本形式,daTa7 dt aq 这是理想、完整体系的普遍方程一一基本形式的拉格朗日方程 (2)保守系:如果主动力均为保守力F=-V(行2…元,1),则5 1．第一类拉格朗日方程 拉格朗日乘子法（参阅参考资料 1．§5．2 第 277 页；参考资料 4．§3） 2．（第二类）拉格朗日方程 （基本形式的拉格朗日方程）的推导 为了方便地运用达朗贝尔方程，我们还需要用独立的广义坐标来表达。 从达朗贝尔方程 ( ) 1 0 n i i i i i F m r r  =  −  = (1) 出发，利用坐标变换（换为独立的广义坐标 q ） 1 s i i r r q q      =  =    得 1 1 1 0 s n n i i i i i i i r r F m r q q q      = = =        −  =          中第一项   Q q r F n i i i      =1   称为对应于广义坐标  q 的广义力,是主动力在(由广义坐标构成的曲线坐标 系的)坐标曲线的切线方向上的投影之和（可能相差一个函数因子，其量纲也可能与力不同；因而广义力 可以不是力，例如：力矩也是一种广义力）；第二项 1 1 1 n n n i i i i i i i i i i i i i i i i r r r r r d d d d T T m r m r r m r r q dt q dt q dt q q dt q q = = =                        =  −  =  −  = −                             是 加速度乘以质量在对应的坐标曲线的切线方向上的投影之和(参阅第一章任意曲线坐标系)。 其中 2 1 1 2 n i i i T m r = =  为动能。推导过程中运用了第一、第二两个经典拉格朗日关系 kkk v r r qqq    = =  和 kkk d r r v dt q q q    = =  代入达朗贝尔方程，得 1 0 s d T T Q q dt q q       =       − +  =      (2) 由于   q 是相互独立的（这里就用到了约束的完整性。如果有非完整约束，即使对于独立的广义坐标 q ， 其变分 q  也不完全独立），就得理想、完整体系的普遍方程－—拉格朗日方程：    Q q T q T dt d =   −     = 1,2,  ,s (3) 【思考】○1 .为什么不能直接令达朗贝尔方程(1)中各项系数为零而能够令(2)式中各项系数为零？ ○2 .对于直角坐标和平面极坐标分别讨论拉格朗日方程中(3)的各项的具体形式和它们的物理意义。 3．拉格朗日方程的各种形式 （1）基本形式：    Q q T q T dt d =   −     = 1,2,  ,s 这是理想、完整体系的普遍方程－—基本形式的拉格朗日方程 （2）保守系：如果主动力均为保守力 F V r r t i i i n = − ( , , , ) ，则