求证:P(x,y)=0,m2=0 §2积分与路径无关 1.验证下列积分与路径无关,并求它们的值: 00) (a -y)(dr-dy) (2)/2m=沿在右半平面的路径 (3)68)产沿不通过原点的路径; (4)0f(x+y)(d+d),式中f(u)是连续函数 )/23()d+()d,其中,为连续函数 (6)J1.2.3)yzdr+cady+rye 1,1) +y2dy-23 )2m+,其中(xm,3,(2m2)在球面+2+ 2.求下列全微分的原函数: (1)(x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy-y2)dy (2)(2. cosy-y sin r)d.+(2y cos -z2 sin y) dy (3)dx+2dy+= (4)(x2-2y2)dx+(y2-2x)dy+(2-2xy)da (5)(e siny+2ry 2)dr+(e" cos y+2.x2y)dy: +2x2d +3y dy+5da求证：P(x, y) = 0, ∂Q ∂x = 0. §2 积分与路径无关 1. 验证下列积分与路径无关，并求它们的值： (1) R (1,1) (0,0) (x − y) (dx − dy)； (2) R (1,2) (2,1) ydx−xdy x2 沿在右半平面的路径； (3) R (6,8) (1,0) xdx+ydy x2+y 2 沿不通过原点的路径； (4) R (a,b) (0,0) f (x + y) (dx + dy)，式中f(u)是连续函数； (5) R (1,2) (2,1) ϕ (x) dx + ψ (y) dy，其中ϕ，ψ为连续函数； (6) R (6,1,1) (1,2,3) yzdx + xzdy + xydz； (7) R (2,3,−4) (1,1,1) xdx + y 2dy − z 3dz； (8) R (x2,y2,z2) (x1,y1,z1) xdx √ +ydy+zdz x2+y 2+z 2 ，其中(x1, y1, z1)，(x2, y2, z2)在球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2上． 2．求下列全微分的原函数： (1) ¡ x 2 + 2xy − y 2 ¢ dx + ¡ x 2 − 2xy − y 2 ¢ dy； (2) ¡ 2x cos y − y 2 sin x ¢ dx + ¡ 2y cos x − x 2 sin y ¢ dy； (3) a z dx + b z dy + −by−ax z 2 dz； (4) ¡ x 2 − 2yz¢ dx + ¡ y 2 − 2xz¢ dy + ¡ z 2 − 2xy¢ dz； (5) ¡ e x sin y + 2xy2 ¢ dx + ¡ e x cos y + 2x 2 y ¢ dy； (6) h x (x2−y 2) 2 − 1 x + 2x 2 i dx + h 1 y − y (x2−y 2) 2 + 3y 3 i dy + 5z 3dz． 6