af(x) a'f(x) a2f(x) @'f(x) 0x1 Ex? x 8x2 xx af(x) a'f(x) 8'f(x) 82f(x) ax ox x xox Vf(x)= 0x2 V2f(x)= af(x) a2f(x) a'f(x) a"f(x) axm」 ox ox ax ox2 x 定理（凸函数的一阶充要条件） 若fx)在S上可微，则fx)是凸函 数当且仅当 f(x)≥f()+Vf)'(x-),E∈S 定理（凸函数的二阶充要条件）设∫：S→R二阶连续可导，则 1)f是S上的凸函数的充要条件是f的Hesse矩阵Vf(x)在S上是半正定的。 2)当7fx)在S上是正定矩阵时，f是S上的严格凸函数。（注：逆命题不成立） 99 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x f x f x f x f x x x x x x                      =           1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n f x x f x f x x f x x               =               定理(凸函数的一阶充要条件) 若 f(x)在 S 上可微，则 f(x)是凸函 数当且仅当 ( ) ( ) ( ) ( ) T f x f x f x x x  +  − ，  x S 定理(凸函数的二阶充要条件) 设 f : S  R 二阶连续可导，则 1)f 是 S 上的凸函数的充要条件是 f 的 Hesse 矩阵 ( ) 2  f x 在 S 上是半正定的。 2)当 ( ) 2  f x 在 S 上是正定矩阵时，f 是 S 上的严格凸函数。(注:逆命题不成立)