第2期 王健安等：线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 273. 块对角矩阵；矩阵中的“”表示对称矩阵的对称 矩阵H、L,则 项 Q+HFL+LT FT H<0, 1系统描述 对任意满足FF≤I的F成立的充要条件是存在 e0,使得 本文考虑如下同时具有状态时滞及输入时滞的 Q+eHH+ELT L<0. 不确定线性系统： x(t)=(A十△A(t)x(t)+(A1+ 2主要结果 △A1(t)x(t-h(t)+(B+ 为考虑问题方便，首先讨论系统(1)的标称系统 AB())u(t)+Biu(t-h()) e-h0 经无记忆控制器(4)作用后时滞相关的渐近稳定充 x()) 分条件，此时闭环系统为： (1) x(t)= 其中，状态向量x(t)∈R";控制输入向量u(t)∈ (A+BK)x(t)(A1+BIK)x(t-h(t))(5) Rm;(t)是连续向量实值函数，表示系统的初始状 引入文献[3,9]的思想，将状态时滞矩阵A1作 态；h(t)代表系统状态时滞和输入时滞，是非负有 如下分解： 界函数，满足 A1=A11十A2, 0≤h(t)≤h<o∞，0≤h(t)≤d<1,h(0)=0(2) 其中A1,A12为常数实矩阵，于是系统(5)可表示 A、A1、B和B1为已知的适当维数的矩阵，△A(t) 为： 和△B(t)是时间t的实矩阵函数，体现了系统的时 (t)=(A+BK)x(t)+Ax(t-h(t))+ 变参数不确定性，且具有如下形式： (A12十B1K)x(t-h(t)) (6) [△A(t)△A1(t)△B(t)]= DF(t[E E1 E] (3) 记： 其中，D、E和E为已知常数矩阵，时变未知实矩 Ax=A十BK,A1K=A12十B1K, 阵F(t)满足对于Ht有F(t)F(t)≤I. 令： 灯(t)= 采用以下的无记忆线性状态反馈： u(t)=Kx(t) (4) [x"(t)x"(t-h())Aikx(t-h(t))] 本文的主要目的是讨论不确定系统(1)在形如 则系统(6)可以表示为： (4)的控制器作用下可鲁棒镇定的时滞相关充分条 ()=[AK Au I](t) (7) 件及控制器设计问题，为后面叙述方便，引入如下 定理1给定常量h>0,d<1,如果存在P> 一个引理 0,R>0,Q>0以及Y1,Y2,Y3∈Rxm,使得以下 引理1刊给定矩阵Q=Q,以及适当维数的 LMI成立： PAK+AP+Y1+YI PAn-Y1+Y2 P+Y hY1 hAkR AIK -Y2-Y2 -Y3 hY2 hAiR 0 米 -(1-d)0hY3 hR 0 <0 (8) hR 0 0 -hR 0 则闭环系统(5)渐近稳定 (t)=2x'(t)P(t)+h(t)R(t)+ 证明：取Lyapunov-Krasovskii泛函 x(t)AIKQAikx(t)-(1-h(t))x"(t- )=roP(o)+J(o)R(sHad0t h(t))AikQAIKx(t-h(t))- nf()aAi.04eo (9) '()R(a,2r(Po+ 则V(t)沿系统(5)的轨线的导数为： hi(t)Ri(t)+x(t)AIKQAIKx(t)-块对角矩阵；矩阵中的“∗”表示对称矩阵的对称 项． 1 系统描述 本文考虑如下同时具有状态时滞及输入时滞的 不确定线性系统： x · （ t）＝（A＋ΔA（ t）） x（ t）＋（A1＋ ΔA1（ t）） x（ t—h（ t））＋（B＋ ΔB（ t）） u（ t）＋B1u（ t—h（ t）） x（ t）＝●（ t） t∈［—h‚0］ （1） 其中‚状态向量 x（ t）∈R n；控制输入向量 u（ t）∈ R m；●（ t）是连续向量实值函数‚表示系统的初始状 态；h（ t）代表系统状态时滞和输入时滞‚是非负有 界函数‚满足 0≤h（ t）≤h＜∞‚0≤h · （ t）≤ d＜1‚h（0）＝0 （2） A、A1、B 和 B1 为已知的适当维数的矩阵‚ΔA（ t） 和ΔB（ t）是时间 t 的实矩阵函数‚体现了系统的时 变参数不确定性‚且具有如下形式： ［ΔA（ t） ΔA1（ t） ΔB（ t）］＝ DF（ t）［ E E1 Eb ］ （3） 其中‚D、E1 和 Eb 为已知常数矩阵‚时变未知实矩 阵 F（ t）满足对于∀t 有 F（ t） T F（ t）≤ I． 采用以下的无记忆线性状态反馈： u（ t）＝ Kx（ t） （4） 本文的主要目的是讨论不确定系统（1）在形如 （4）的控制器作用下可鲁棒镇定的时滞相关充分条 件及控制器设计问题．为后面叙述方便‚引入如下 一个引理． 引理1［4］ 给定矩阵 Q＝ Q T‚以及适当维数的 矩阵 H、L‚则 Q＋ HFL＋ L T F T H T＜0‚ 对任意满足 F T F≤ I 的 F 成立的充要条件是存在 ε＞0‚使得 Q＋ε—1HH T＋εL T L＜0． 2 主要结果 为考虑问题方便‚首先讨论系统（1）的标称系统 经无记忆控制器（4）作用后时滞相关的渐近稳定充 分条件．此时闭环系统为： x · （ t）＝ （ A＋BK） x（ t）＋（ A1＋B1K） x（ t—h（ t）） （5） 引入文献［3‚9］的思想‚将状态时滞矩阵 A1 作 如下分解： A1＝ A11＋ A12‚ 其中 A11‚A12为常数实矩阵．于是系统（5）可表示 为： x · （ t）＝（ A＋BK） x（ t）＋ A11x（ t—h（ t））＋ （ A12＋B1K） x（ t—h（ t）） （6） 记： AK＝ A＋BK‚A1K＝ A12＋B1K． 令： ζT （ t）＝ ［ x T （ t） x T （ t—h（ t）） ｛A1Kx（ t—h（ t））｝T ］． 则系统（6）可以表示为： x · （ t）＝［ AK A11 I］ζ（ t） （7） 定理1 给定常量 h＞0‚d＜1‚如果存在 P＞ 0‚R＞0‚Q＞0以及 Y1‚Y2‚Y3∈R n× n‚使得以下 LMI 成立： PAK＋ A T KP＋Y1＋Y T 1 PA11—Y1＋Y T 2 P＋Y T 3 hY1 hA T KR A T 1K ∗ —Y2—Y T 2 —Y T 3 hY2 hA T 11R 0 ∗ ∗ —（1— d） Q hY3 hR 0 ∗ ∗ ∗ —hR 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ —hR 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ — Q —1 ＜0 （8） 则闭环系统（5）渐近稳定． 证明：取 Lyapunov-Krasovskii 泛函 V（ t）＝x T （ t）Px（ t）＋∫ 0 －∫h t t＋θ x ·T （s） R x · （s）dsdθ＋ ∫ t t－h（ t） x T （ s） A T 1KQA1Kx（ s）d s （9） 则 V（ t）沿系统（5）的轨线的导数为： V · （ t）＝2x T （ t） P x · （ t）＋h x ·T （ t） R x · （ t）＋ x T （ t） A T 1KQA1Kx（ t）—（1—h · （ t）） x T （ t— h（ t）） A T 1KQA1Kx（ t—h（ t））— ∫ t t－h x ·T （ s） R x · （ s）d s≤2x T （ t） P x · （ t）＋ h x ·T （ t） R x · （ t）＋x T （ t） A T 1KQA1Kx（ t）— 第2期 王健安等： 线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 ·273·