面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的,产生了新兴的分形几何学,空间具有不 定是整数的维,而存在一个分数维数,这是几何学的新突破,引起了数学家和自然科学者 的极大关注 严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是,有一些不太正规 的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中,最为流行的一个定义是:分形是 种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说,在分形中,每一组成部分都在特 征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已。 分形理论诞生于20世纪70年代中期,创始人是美国数学家--曼德布罗特 (BB. Mandelbrot),他1982年出版的《大自然的分形几何学》( The Fractal Geometry of Nature) 是这一学科经典之作。分形( fractal)是20多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念, 混沌( chaos)、分形和孤立子( (soliton)是非线性科学( nonlinear science)中三个最重要的概念 分形( Fractal)理论,主要硏究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性 层次性和标度不变性,为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具 分形理论,是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂,但 其内部却是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理论的研究对象。分形的类型有自 然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。 分形理论,已被广泛地应用到包括天文、地理、生物、计算机、哲学等在内的诸多研究 领域之中,构成了当代科学前沿的一个被广义地称为“分形学”的学科范围十分广阔、研究成 果相当丰硕以及前景诱人的热门研究领域 分形理论被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域,从而形成了许多新的学科生 长点。随着分形理论在地理学研究中的应用,到了20世纪90年代,逐渐形成了一个新兴的 分支学科—分形地理学 分形是指其组成部分以某种方式与整体相似的几何形态( Shape),或者是指在很宽的尺度 范围内,无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分形是一种复杂的几何形体,唯 有具备自相似结构的那些几何形体才是分形。 分形:是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程。也就是说,在分形中,每 组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已 自相似性self- similarity指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看 都是相似的或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体相似。它不但包括严格的几何相 似性,而且包括通过大量的统计而呈现出的自相似性 分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征 从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与 整体类似。另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性。一般情况下自 相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。 棵大树由许多树枝和树叶组成,若把一根树枝与该棵大树相比,在构成形式上完全相 似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条,仍具有大树构成的特点。当然,这只能 是在一定尺度上呈现相似性,不会无限扩展下去。另外,树枝与树枝之间,树叶与树叶之间, 也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉,也可以发现类似的自相似结构。 由上面我们可以看到,自然界的分形,其自相似性并不是严格的,而是,在统计意 义下的自相似性,海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形52 面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不 一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者 的极大关注。 严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规 的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一 种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特 征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。 分 形 理 论 诞 生 于 20 世 纪 70 年 代 中 期 ， 创 始 人 是 美 国 数 学 家 --- 曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot)，他 1982 年出版的《大自然的分形几何学》 (The Fractal Geometry of Nature) 是这一学科经典之作。分形(fractal)是 20 多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念， 混沌(chaos)、分形和孤立子(soliton) 是非线性科学(nonlinear science)中三个最重要的概念。 分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性、 层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。 分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂，但 其内部却是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理论的研究对象。分形的类型有自 然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。 分形理论，已被广泛地应用到包括天文、地理、生物、计算机、哲学等在内的诸多研究 领域之中，构成了当代科学前沿的一个被广义地称为“分形学”的学科范围十分广阔、研究成 果相当丰硕以及前景诱人的热门研究领域。 分形理论被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，从而形成了许多新的学科生 长点。随着分形理论在地理学研究中的应用，到了 20 世纪 90 年代，逐渐形成了一个新兴的 分支学科——分形地理学。 分形是指其组成部分以某种方式与整体相似的几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度 范围内，无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分形是一种复杂的几何形体，唯 有具备自相似结构的那些几何形体才是分形。 分形：是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程。也就是说，在分形中，每一 组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。 自相似性 self－similarity 指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看 都是相似的或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体相似。它不但包括严格的几何相 似性，而且包括通过大量的统计而呈现出的自相似性。 分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征 从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与 整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自 相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。 一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相 似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这只能 是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间， 也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。 由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是严格的，而是，在统计意 义下的自相似性，海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形