第三章分形理论方法及其应用 第一节分形理论概述 、分形相关概念 1、分形的基本概念 自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的,而是处于无序的、不稳定的 非平衡的和随机的状态之中,它存在着无数的非线性过程,如流体中的湍流就是其中一个例 在生命科学和社会科学中,生命现象和社会现象都是一种复杂现象,非线性关系更是常 见 客观世界是复杂的,所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。但以往人们对复杂 事物的认识总是通过还原论方法把它加以简化,即把非线性问题简化为线性问题。这种认识 方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用,但是随着科学技术和社会的发展,已经暴露出它的 局限性,从而要求人们直接研究复杂事物,以便更准确、更充分地反映其本来面目。因此 一门研究复杂现象的非线性科学应运而生。 在非线性世界里,随机性和复杂性是其主要特征,但同时,在这些极其复杂的现象背后, 存在着某种规律性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题,透过扑朔迷 离的无序的混乱现象和不规则的形态,揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的 本质联系。 分形是一门新的学科,它的历史很短,目前正处在发展之中,它涉及面广但还不够成熟, 然而分形理论具有强大的生命力 多少世纪以来,人们总是用欧几里得几何的对象和概念(诸如点、线、平面、空间、正 方形、圆…)来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现,引进了描画宇宙现象的新 的对象。分形就是这样一种对象 分形的思想初见于公元1875至1925年数学家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标 签,人们深信它没有丝毫的科学价值。它就是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼德勃 罗于1975年创造的,曼德勃罗在该领域有着广泛的发现 从严格意义上讲,分形是这样一种对象,将其细微部分放大后,其结构看起来仍与原先 的一样。这与圆形成了鲜明的对比,把圆的一部分放大后便变得比较平直。分形可分为两类: 一是几何分形,它不断地重复同一种花样图案;另一种是随机分形。计算机和计算机绘图能 够把这些“畸形怪物”可靠地带回到生活中,在计算机的屏幕上,几乎能够立即产生分形,并 显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观 可能有人感到,只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中,然而上述新的形式却 从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点。分形是一个新的数学领域-有时也把它归 为自然界的几何,因为这些奇异而混沌的形状,不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、 海岸线等自然现象,而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。 普通几何学研究的对象,一般都具有整数的维数。比如,零维的点、一维的线、二维的 5151 第三章 分形理论方法及其应用 第一节 分形理论概述 一、分形相关概念 1、分形的基本概念 自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的，而是处于无序的、不稳定的、 非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个例 子。 在生命科学和社会科学中，生命现象和社会现象都是一种复杂现象，非线性关系更是常 见。 客观世界是复杂的，所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。但以往人们对复杂 事物的认识总是通过还原论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这种认识 方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科学技术和社会的发展，已经暴露出它的 局限性，从而要求人们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本来面目。因此， 一门研究复杂现象的非线性科学应运而生。 在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后， 存在着某种规律性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷 离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的 本质联系。 分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中，它涉及面广但还不够成熟， 然而分形理论具有强大的生命力。 多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、正 方形、圆……）来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现象的新 的对象。分形就是这样一种对象。 分形的思想初见于公元 1875 至 1925 年数学家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标 签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼德勃 罗于 1975 年创造的，曼德勃罗在该领域有着广泛的发现。 从严格意义上讲，分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原先 的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便变得比较平直。分形可分为两类： 一是几何分形，它不断地重复同一种花样图案；另一种是随机分形。计算机和计算机绘图能 够把这些“畸形怪物”可靠地带回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够立即产生分形，并 显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观。 可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中，然而上述新的形式却 从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点。分形是一个新的数学领域--有时也把它归 为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、 海岸线等自然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的