◆特征方程的根与通解的关系 方程尸2+P+q=0的根的情况方程y"+py+q=0的通解 有两个不相等的实根;、n2|y=Ce+C2ex 有两个相等的实根:r y=Cel+cei 简要证明:这是因为 (xeixy+p(xeix)+q(xe'ix)=(2n +xn)eli+(1+xr)elix+qe e(21+p)+xe(2+p1+q)=0, 即xex是方程的解; xe dix 抄O x不是常数,即ex与e线性无关 返回 结束首页 上页 返回 下页 结束 铃 r x r x y C e 1 C xe 1 = 1 + 2 有两个不相等的实根r1、r2 有两个相等的实根r1=r2 下页 ❖特征方程的根与通解的关系 方程r 2+pr+q=0的根的情况 方程y+py+qy=0的通解 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2 简要证明 这是因为 r x r x r x r x r x r x x e 1 p x e 1 q x e 1 r x r e 1 p x r e 1 qxe 1 ( ) ( ) ( ) (2 ) (1 ) 1 2 + + = 1 + 1 + + + (2 ) ( 1 ) 0 2 1 1 =e 1 r + p +x e 1 r + pr +q = r x r x  即 r x x e 1 是方程的解 x e x e r x r x = 1 1 不是常数 即 r x e 1 与 r x e 2 线性无关 r x r x r x r x r x r x x e 1 p x e 1 q x e 1 r x r e 1 p x r e 1 qxe 1 ( ) ( ) ( ) (2 ) (1 ) 1 2 + + = 1 + 1 + + + x e x e r x r x = 1 1 不是常数 即 r x e 1 与 r x e 2 线性无关