◆特征方程的根与通解的关系 方程尸2+P+q=0的根的情况方程y"+py+q=0的通解 有两个不相等的实根;、n2|y=Ce+C2ex 有两个相等的实根:r y=Cel+cei 有一对共轭复根:12=cBy=ea(c;cosx+C2sinB) 简要证明:因为函数y=e和y2=e(a0都是方程的解, rf eax cos Bx=0+y2), ear sin Bx=(-22),>>> 故 e Bx和 eaxsinBx也是方程的解; 函数 arcos Bx与 easin的比值为 cotBx,不是常数 故 ea cos Bx和esin是方程的线性无关解 返回 页结束铃首页 上页 返回 下页 结束 铃 有两个不相等的实根r1、r2 有一对共轭复根r1, 2=i y=e x (C1 cosx+C2 sinx) 下页 ❖特征方程的根与通解的关系 方程r 2+pr+q=0的根的情况 方程y+py+qy=0的通解 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2 有两个相等的实根r1=r2 简要证明 故e xcosx和e xsinx也是方程的解 因为函数y1=e (+i)x和y2=e (−i)x都是方程的解 而 ( ) 2 1 cos 1 2 e x y y x  = +   ( ) 2 1 sin 1 2 y y i e x x  = −   函数e xcosx与e xsinx的比值为cotx 不是常数 故e xcosx和e xsinx是方程的线性无关解 r x r x y C e 1 C xe 1 = 1 + 2 >>>