§53绝对连续函数与不定积分 教学目的介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛顿 莱布尼兹公式 教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿-莱布尼兹公式 定义1设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数若对任意E>0,存在δ>0,使得对 a,b上的任意有限个互不相交的开区间{(a,b)}m,当∑(b1-a1)<o时,成立 ∑f()-f(a1)<5 则称∫(x)是[a,b]上的绝对连续函数 关于绝对连续函数显然成立如下事实 ().绝对连续函数是连续函数 (i).若∫,g是绝对连续函数,a是实数则a∫和∫+g是绝对连续函数 例1设∫是[a,b]上的 Lebesgue可积函数则∫的不定积分 x)=.()h+ (其中C是任意常数)是[a,b上的绝对连续函数 证明由积分的绝对连续性(§42定理9),对任意E>0,存在δ>0,使得对[a,b]中 的任意可测集A,当m(A)<时,f()dt<E.于是对[ab]上的任意有限个互不相 交的开区间{(a,b加},当∑(b-a)<δ时,令A=U(a1,b,则 m(A)=∑(b-a)<6.于是 ∑F)-F(a)=门o= 因此F是[a,b]上的绝对连续函数 例2若∫在[ab]上满足 Lipschitz条件,则∫是[a,b]上的绝对连续函数 证明对任意E>0,令6=元(M是 Lipschitz常数)则当∑(b-a,)<6时154 5.3 绝对连续函数与不定积分 教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛顿 -莱布尼兹公式. 教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式. 定义 1 设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 若对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对 [a,b]上的任意有限个互不相交的开区间{( , )} , 1 n ai bi i= 当∑ − < δ i= bi ai 1 ( ) 时, 成立 ( ) ( ) , 1 ∑ − < ε = n i i ai f b f 则称 f (x) 是[a,b]上的绝对连续函数. 关于绝对连续函数显然成立如下事实: (i). 绝对连续函数是连续函数. (ii). 若 f , g 是绝对连续函数, α 是实数. 则α f 和 f + g 是绝对连续函数. 例 1 设 f 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分 F x f t dt C x a = + ∫ ( ) ( ) (其中C 是任意常数)是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 由积分的绝对连续性( 4.2 定理 9), 对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]中 的任意可测集 A , 当 m(A) < δ 时, ∫ < A f (t) dt ε. 于是对[a,b]上的任意有限个互不相 交的开区间 {( , )} , 1 n i i i a b = 当 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时 , 令 ( , ), 1 U n i A ai bi = = 则 ( ) ( ) . 1 = ∑ − < δ = n i i i m A b a 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 − = ≤ = < ε ∑ ∑ ∫ ∑∫ ∫ = = = A n i b a n i b a n i i i F b F a f t dt f t dt f t dt i i i i 因此 F 是[a,b]上的绝对连续函数. 例 2 若 f 在[a,b]上满足 Lipschitz 条件, 则 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 对任意ε > 0, 令 M ε δ = ( M 是 Lipschitz 常数). 则当∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时