∑/()-f(a,)≤M∑(b-a)<E 故∫是[a,b]上的绝对连续函数■ 定理2绝对连续函数是有界变差函数 证明设∫是[a,b]上的绝对连续函数则对E=1,存在δ>0,使得对[a,b]上的任 意有限个互不相交的开区间{(a,b)m,当∑(b-a1)<δ时,成立 ∑ f(b)-f(a)<1.取自然数k使b-a∠6.设a=x…<xn=b是[a,b]的 个分割,它将区间[a,b分成k等分.对[x1,x]任一分割x1=10<…<m=x1,由 于∑(1-1-)=x1-x1<,因此 V(o;…,mn)=∑f(1)-f(a)≤1 于是V(∫)≤1,=1,…,k.利用§52定理2,得到 ()=∑(≤k =x-1 因此∫是[a,b]上的有界变差函数定理证毕 推论3设∫是[a,b]上的绝对连续函数则∫在[a,b]上几乎处处可导,并且厂'是 Lebesgue可积的 证明利用推论4即知推论成立 定理4若∫是[a,b]上的绝对连续函数,则∫的变差函数V()也是绝对连续的 证明设∫是[a,b]上的绝对连续函数由定理2,f是[a,b上的有界变差函数因 此函数V()有意义对任意E>0,设是绝对连续函数定义中相应的正数现在设 {(a,b)是b]上的互不相交的开区间使得∑(b-a1)<.对每个=1…,n,设 x0)<x)<…<x(=b 是(an,b)的任一分割则{(x1,x)j=1…k,=1…,m是[ab]上的限个互不相155 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ∑ − ≤ ∑ − < ε = = n i i i n i f bi f ai M b a 故 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 定理 2 绝对连续函数是有界变差函数. 证明 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 则对ε = 1, 存在δ > 0, 使得对[a,b]上的任 意有限个互不相交的开区间 {( , )} , 1 n i i i a b = 当 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时 , 成 立 ( ) ( ) 1. 1 ∑ − < = n i i ai f b f 取自然数 k 使得 < δ . − k b a 设 a x x b = 0 <L< n = 是[a,b] 的 一个分割, 它将区间[a,b]分成 k 等分. 对[ , ] i 1 i x x − 任一分割 , i 1 0 m i x = t < < t = x − L 由 于 ( ) , 1 1 − 1 = − − < δ = ∑ − i i m i i i t t x x 因此 ( , , ) ( ) ( ) 1. 1 0 = ∑ − 1 ≤ = − m i f m i i V t L t f t f f 于是 ( ) 1, 1, , . 1 V f i k i i x x ≤ = L − 利用 5.2 定理 2, 得到 ( ) ( ) . 1 1 V f V f k k i x x b a i i = ∑ ≤ = − 因此 f 是[a,b]上的有界变差函数. 定理证毕. 推论 3 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 则 f 在[a,b]上几乎处处可导, 并且 f ′ 是 Lebesgue 可积的. 证明 利用推论 4 即知推论成立. 定理 4 若 f 是[a,b]上的绝对连续函数, 则 f 的变差函数V ( f ) x a 也是绝对连续的. 证明 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 由定理 2, f 是[a,b]上的有界变差函数. 因 此函数V ( f ) x a 有意义. 对任意 ε > 0, 设δ 是绝对连续函数定义中相应的正数. 现在设 n i i i a b 1 {( , )} = 是[a,b]上的互不相交的开区间使得 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) . 对每个i = 1,L,n, 设 i i k i i i a x x x b i = < < < = ( ) ( ) 1 ( ) 0 L 是 ( , ) i i a b 的任一分割. 则{( , ), 1, , , 1, , } 1 x x j k i n i i j i j − = L = L 是[a,b] 上的限个互不相