交的开区间,并且这些小区间的长度之和 ∑∑(x-x)=∑(b-a1)< 由∫的绝对连续性得到 <E 对(a1,b)(i=1,…,n.)的所有分割取上确界得到 b 这表明V(是[a,b]上的绝对连续函数■ 定理5设∫是[a,b]上的 Lebesgue可积函数.则∫的不定积分 x)= 在[a,b]上几乎处处可导并且F(x)=f(x)ae 证明由例1知道F(x)是[a,b]上的绝对连续函数.因而由推论3知道F(x)在 a,b]上几乎处处可导.往证F(x)=f(x)ae先证明若是[a,b上的 Lebesgue可积 函数,则成立 ) slo(x)dx 事实上由于,9(O)m和o()都是单调增加的函数,51定理5我们有 广(o0)aso( p"(odt dxs o (x)dx 因此 o* (dx+o(x)dx=o(x)d156 交的开区间, 并且这些小区间的长度之和 ( ) ( ) . 1 1 1 ( ) 1 ( ) ∑ ∑ ∑ − = − < δ = = = − n i n i i i k j i j i j x x b a i 由 f 的绝对连续性得到 ( , , ) ( ) ( ) . 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 ∑ = ∑∑ − < ε = = − = n i n j i j i j n i i n i i f i i V x x Lx f x f x 对( , ) i i a b (i = 1,L, n.)的所有分割取上确界得到 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ∑ − = ∑ ≤ ε = = n i b a n i a a b a V f V f V f i i i i 这表明V ( f ) x a 是[a,b]上的绝对连续函数. 定理 5 设 f 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分 F x f t dt C x a = + ∫ ( ) ( ) 在[a,b]上几乎处处可导并且 F′(x) = f (x) a.e.. 证明 由例 1 知道 F(x) 是[a,b] 上的绝对连续函数. 因而由推论 3 知道 F(x) 在 [a,b]上几乎处处可导. 往证 F′(x) = f (x) a.e..先证明若ϕ 是[a,b]上的 Lebesgue 可积 函数, 则成立 ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ ≤ ′       b a b a x a ϕ t dt dx ϕ x dx (1) 事实上, 由于 ∫ + x a ϕ (t)dt 和 ∫ − x a ϕ (t)dt 都是单调增加的函数, 5.1 定理 5, 我们有 ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ + + ≤ ′       b a b a x a ϕ t dt dx ϕ x dx ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ − − ≤ ′       b a b a x a ϕ t dt dx ϕ x dx 因此 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ≤ + = ′       + ′       ≤ ′       + − + −+ b a b a b a b a x a b a x a b a x a x dx x dx x dx t dt dx t dt dx t dt dx ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ