即(1)成立,由§45定理2,对任意E>0,存在[a,b]上的一个连续函数g,使得 -g<6由数学分析中熟知的定理知u(Cgo)g8)对函数/-g应用 (2)式,我们有 ((0)-g())+g(x)-f(x) 00+w0) If(x)-g(x 由E>0的任意性我们得到 f(1)dn-f(x)=0.因此 f()d-f(x)=0ae.此即F(x)=∫(x) 定理6设∫是[a,b]上的绝对连续函数,并且在[a,b上f(x)=0ae.则∫在 b]上恒为常数 证明先证明∫(a)=∫(b).对任意E>0,存在δ>0,使得对[a,b]上的任意有限 个互不相交的开区间{a,b),当∑(b-a)<6时,成立 ∑f()-f(a,)< 设E0={x∈[a,b]:f(x)=0},E=[a,b]-E0,则mE=0.对于上面的,由§23 定理6()存在开集G→E,使得mG<δ.由直线使开集的构造定理,存在一列开区间 (a,b)},使得G=U(an,b) 另一方面,由于当[a,b]-G∈E0,故对任意y∈[a,b]-G,f(y)=0.于是存在 相应的h>0,使得当y’∈(y-h,y+h)时,157 即(1)成立. 由 4.5 定理 2, 对任意 ε > 0, 存在 [a,b] 上的一个连续函数 g , 使得 − < ε. ∫ b a f g dt 由数学分析中熟知的定理知道 g(t)dt g(x). x a = ′       ∫ 对函数 f − g 应用 (2)式, 我们有 2 ( ) ( ) 2 . ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ − < ε + − ′       ≤ − + − ′       = − − ′       ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b a b a b a x a b a x a b a x a f x g x dx f t g t dt dx g x f x dx f t g t dt g x f x dx f t dt f x dx 由 ε > 0 的任意性我们得到 ( ) − ( ) = 0. ′       ∫ ∫ b a x a f t dt f x dx 因 此 ( ) − ( ) = 0 a.e.. ′       ∫ f t dt f x x a 此即 F′(x) = f (x) a.e.. . 定理 6 设 f 是[a,b] 上的绝对连续函数, 并且在 [a,b] 上 f ′(x) = 0 a.e. 则 f 在 [a,b]上恒为常数. 证明 先证明 f (a) = f (b). 对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]上的任意有限 个互不相交的开区间{( , )} , 1 n i i i a b = 当∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时, 成立 ( ) ( ) . 1 ∑ − < ε = n i i ai f b f 设 { [ , ]: ( ) 0}, E0 = x ∈ a b f ′ x = [ , ] , E0 E = a b − 则 mE = 0. 对于上面的 δ , 由 2.3 定理 6(i), 存在开集 G ⊃ E, 使得 mG < δ . 由直线使开集的构造定理, 存在一列开区间 {( , )}, i i a b 使得 U i i i G = (a ,b ). 另一方面, 由于当[ , ] , G E0 a b − ⊂ 故对任意 y ∈[a,b] − G, f ′( y) = 0. 于是存在 相应的 h > 0, 使得当 y′∈ ( y − h, y + h)时