(y)-f()<y-y 这样开区间族{(a1,b)}∪{(y-h,y+h),y∈[a,b]-G}构成了[a,b]的一个开覆盖由 有限覆盖定理,可以从中选出有限个区间,不放设为 (a1,b1)…,(ak,bk),(y1-h1,y1+h)…(y-h1,y1+h) 仍然覆盖[a,b]我们可以在点a1,b,…,ak,b,y1,…,y之外再加上一些分点,构成 [a,b]的一个分点组 b 使得对任何给定的小区间(x-1,x,),不外乎出现以下两种情况 (1)对某个j,(x-1,x)∈(a,b) (2)对某个,(x-,x)C(y-h,y)或(x1,x)c(y,y+h) 于是我们有 0≤f(b)-fa)≤∑fx)-f(x-) ≤∑f(x,)-f(x-)+∑1(x)-f(x-1) x-x-|≤E+6(b-a 其中∑表示对出现情况(1)的(x-,x)求和,∑表示对出现情况(2)的(x1,x)求 和由E>0的任意性得到∫(a)=f(b)对任意x∈[a,b],用[{a,x代替{a,b],同样可 以得到∫(x)=f(a).因此∫在[a,b上恒为常数■ 定理7(微积分基本定理)设∫(x)是定义在[a,b上的实值函数.则成立牛顿-莱布尼 兹公式 f(x)-f(a=Lf'(dt, xE[a, b 的充要条件是f(x)是绝对连续函数 证明由例1即知必要性成立.往证充分性.设∫(x)是绝对连续的.由推论3,∫在 [a,b]上几乎处处可导,并且厂是 Lebesgue可积的.令 p(x)=f(x)-/'(dt,xe[a,b 由定理5知道,在[a,b上φ(x)=0ae.根据定理6,(x)在[a,b]使恒为常数.因此158 f ( y′) − f ( y) < ε y′ − y . 这样开区间族{(a ,b )} {( y h, y h), y [a,b] G} i i ∪ − + ∈ − 构成了[a,b]的一个开覆盖. 由 有限覆盖定理, 可以从中选出有限个区间, 不放设为 ( , ), ,( , ), 1 1 k k a b L a b ( , ), ,( , ) 1 1 1 1 l l l l y − h y + h L y − h y + h 仍然覆盖[a,b]. 我们可以在点 k k l a , b , , a , b , y , , y 1 1 L 1 L 之外再加上一些分点, 构成 [a,b]的一个分点组 , 0 1 a x x x b = < < L < n = 使得对任何给定的小区间( , ) i 1 i x x − , 不外乎出现以下两种情况: (1). 对某个 j, ( , ) ( , ). i 1 i j j x − x ⊂ a b (2). 对某个 j, ( , ) ( , ) i 1 i j j j x x ⊂ y − h y − 或( , ) ( , ) i 1 i j j j x − x ⊂ y y + h . 于是我们有 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 1 (2) 1 (1) 1 1 1 x x b a f x f x f x f x f b f a f x f x i i i i i i n i i i < + − ≤ + − ≤ − + − ≤ − ≤ − ∑ ∑ ∑ ∑ − − − = − ε ε ε ε 其中 ∑ (1) 表示对出现情况(1)的( , ) i 1 i x x − 求和, ∑ (2) 表示对出现情况(2)的( , ) i 1 i x x − 求 和. 由ε > 0的任意性得到 f (a) = f (b). 对任意 x ∈[a, b], 用[a, x]代替[a,b], 同样可 以得到 f (x) = f (a).因此 f 在[a,b]上恒为常数. 定理 7 (微积分基本定理)设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 则成立牛顿-莱布尼 兹公式 f (x) f (a) f (t)dt, x [a,b] x a − = ′ ∈ ∫ (2) 的充要条件是 f (x) 是绝对连续函数. 证明 由例 1 即知必要性成立. 往证充分性. 设 f (x) 是绝对连续的. 由推论 3, f 在 [a,b]上几乎处处可导, 并且 f ′是 Lebesgue 可积的. 令 ( ) ( ) ( ) , ∫ = − ′ x a ϕ x f x f t dt x ∈[a, b]. (4) 由定理 5 知道, 在[a,b]上ϕ′(x) = 0 a.e.. 根据定理 6, ϕ(x) 在[a,b]使恒为常数. 因此