第三章矩阵的初等变换与线性方程组 使学生掌握矩阵的初等变换的概念、行阶梯形和行最简形的概念、矩阵的标准形的概 目的 学生热利用矩阵行的钉等换求逆矩阵的方法。分块矩阵及对角矩胖的迎 方法 求矩阵的秩的依据和方法，矩阵的初等变换 矩阵行的初等变换求逆矩阵的方法，分块矩阵及对角矩阵的求逆方法 初等变换不改变矩阵的秩的结论的证明 利用初等行变换求逆矩阵的方法的应用 教学过程 (一)回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 (二)引入新课。 第一节：矩阵的初等变换 引例：求解 + 21 +4=4 4 (1)给出线性方程组的三种同解变换，得出方程 6+2 3x1+6x2-9x3+7x4=9 组的同解变换实际上只是方程组的系数和常数项进行运算的事实，即相当于对方程组(1)的 增广矩阵B进行变换，将方程组的变换移植到矩阵上，有： 矩阵的初等变换 定义（矩阵的初等行变换和表示法） 见书本45页 同样可以定义初等列变换，给出其表示法。 矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。 说明：三种初等变换都可逆，且其逆是同一类型的初等变换。 介绍标准形、行阶梯形及行最简形。 第二节： 初等矩阵 定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵。 与初等变换相对应，初等矩阵也有三种，并且它们的逆仍是同类型的初等矩阵。 由矩阵的乘法运算法则可知：用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等 行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。 可逆矩阵的性质 定理 有限个初等矩阵的乘积必定是可逆的 定理可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵仍然可逆。 定理可逆矩阵一定可以经过有限次初等行变换化成单位阵。 定理方阵A为可逆矩阵的充要条件是A可以表示成有限个初等矩阵之积。 用初等变换求逆矩阵 8 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 教 学 目 的 使学生掌握矩阵的初等变换的概念、行阶梯形和行最简形的概念、矩阵的标准形的概 念。 使学生熟练掌握利用矩阵行的初等变换求逆矩阵的方法，分块矩阵及对角矩阵的求逆 方法 教 学 重 点 求矩阵的秩的依据和方法，矩阵的初等变换 矩阵行的初等变换求逆矩阵的方法，分块矩阵及对角矩阵的求逆方法 教 学 难 点 初等变换不改变矩阵的秩的结论的证明 利用初等行变换求逆矩阵的方法的应用 教 学 过 程 （一） 回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 （二） 引入新课。 第一节：矩阵的初等变换 引例：求解        + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 2 4 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x （1） 给出线性方程组的三种同解变换，得出方程 组的同解变换实际上只是方程组的系数和常数项进行运算的事实，即相当于对方程组（1）的 增广矩阵B进行变换，将方程组的变换移植到矩阵上，有： 矩阵的初等变换 定义（矩阵的初等行变换和表示法） 见书本 45 页 同样可以定义初等列变换，给出其表示法。 矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。 说明：三种初等变换都可逆，且其逆是同一类型的初等变换。 介绍标准形、行阶梯形及行最简形。 第二节：初等矩阵 定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵。 与初等变换相对应，初等矩阵也有三种，并且它们的逆仍是同类型的初等矩阵。 由矩阵的乘法运算法则可知：用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等 行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。 可逆矩阵的性质 定理 有限个初等矩阵的乘积必定是可逆的。 定理 可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵仍然可逆。 定理 可逆矩阵一定可以经过有限次初等行变换化成单位阵。 定理 方阵 A 为可逆矩阵的充要条件是 A 可以表示成有限个初等矩阵之积。 用初等变换求逆矩阵