复变函数与解析函数 11复数的基本概念 为什么需要复数 1.从数学角度看 实系数方程 在实数范围内无解,为使得二次多项式有两个根,引进复数 数学游戏?不完全是!—完全不是! 回顾数域之拓展:逐渐引入,扩展 自然数=整数有理数=实数复数≡四元数? 为使得实系数n次多项式存在n个根—引入复数 那么,为使得复数系数次多项式存在n个根,是否要进一步拓展数域? 不必,封闭,完备:复数系数n次多项式有n个复数根 能否进一步扩展? 源自19世纪末、20世纪初 Hamilton等人,a,b,c,d均为实数 乘法不满足交换律:j*j,i=-ji=k (1.4) 为何不流行 复数已经封闭:2.尚没有找到许多应用 思考:为何没有三元数而直接跳到四元数? “是故,易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦,八卦定吉凶,吉凶生大业。” 《易传·系辞上传》 注:杨政宁曾预言四元数能在物理上得到应用,有志者可“路漫漫其修远兮,上下左右前后东西南北四面八方无往不利而求1 复变函数与解析函数 1.1 复数的基本概念  为什么需要复数 1. 从数学角度看 实系数方程 x2 + 1 = 0 (1.1) 在实数范围内无解，为使得二次多项式有两个根，引进复数。 数学游戏？不完全是！ —— 完全不是！ 回顾数域之拓展： 逐渐引入，扩展 自然数 ⟹ 整数 ⟹ 有理数 ⟹ 实数 ⟹ 复数 ⟹ 四元数？ 为使得实系数 n 次多项式存在 n 个根 —— 引入复数 那么，为使得复数系数次多项式存在 n 个根，是否要进一步拓展数域？ 不必，封闭，完备：复数系数 n 次多项式有 n 个复数根。 能否进一步扩展？ —— 四元数：（quaternion） 源自19世纪末、20世纪初 Halmilton 等人， a, b, c, d 均为实数 i 2 = j 2 = k2 = -1 (1.2) 乘法不满足交换律 ： i j ≠ j i, i j = -j i = k (1.3) 四元数：q = a i + b j + c k + d (1.4) 为何不流行？ —— 1.复数已经封闭； 2.尚没有找到许多应用 思考：为何没有三元数而直接跳到四元数？ “是故，易有太极 ，是生两仪 ，两仪生四象 ，四象生八卦 ，八卦定吉凶 ，吉凶生大业 。” —— 《易传 ·系辞上传 》 注：杨政宁曾预言四元数能在物理上得到应用，有志者可“路漫漫其修远兮，上下左右前后东西南北四面八方无往不利而求 索