第二章n维欧氏空间 §1.1R"的极限理论 在线性代数中我们学习了n维向量空间V={x1…x)x,∈R,1=1,…,n我们在 V,中定义了加法和数乘.特别的我们还定义了V,中的内积(,) 设x=(x1…xn),y=(1…,yn)是V中的向量,定义x与y的内积(x,y)为 (x,y)=xy1+…+xnyn 内积(x,y)满足 1.对称性:(x,y)=(y,x) 2.线性性:(ax1+bx2,y)=a(x1,y)+b(x2,y) 3.正定性:x∈Vn,(x,x)≥0,并且(x,x)=0等价于x=0 利用内积我们可以定义Vn中向量的长度为=√(x,x) 将P1=(x1,…,x)P2=(y1…,yn)看作V中的点,我们定义其距离d(P2P1)为 d(PP)=-P|=√P-P,P-P)=∑(x-y) 引理:d(P,P2)=|P-P2满足 1.对称性:d(B,P2)=d(P2,P); 2.正定性:d(P1,P)≥0,d(P1,P2)=0等价于P=P2; 3.三角不等式:VP,P2,P3∈Vn,恒有 d(P,P)≤d(B,P)+d(P,P)(x+川≤|+|) 并且等式成立的充分必要条件是B,P2,P3在同一直线上 证明:1和2显然,仅证明3 设V1,V2∈Vn,则对任意t∈R,恒有1 第二章 n 维欧氏空间 §1.1 n R 的极限理论 在线性代数中我们学习了 n 维向量空间Vn = {(x1 ,L, xn ) xi Î R, i = 1,L, n}. 我们在 Vn中定义了加法和数乘. 特别的我们还定义了Vn中的内积( , ). 设 ( ) ( ) n n x x , , x , y y , , y = 1 L = 1 L 是Vn中的向量. 定义x 与 y 的内积( x, y) 为 n n x y = x y +L+ x y 1 1 ( , ) . 内积( x, y) 满足: 1． 对称性: ( x, y) = ( y, x) ; 2． 线性性: ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 ax + bx y = a x y + b x y ; 3． 正定性: "x Î Vn , (x, x) ³ 0, 并且( x, x) = 0等价于 x = 0. 利用内积我们可以定义Vn中向量的长度为 x = (x, x) . 将 ( ) ( ) n n P x , , x , P y , , y 1 = 1 L 2 = 1 L 看作Vn中的点, 我们定义其距离 ( , ) d P1 P2 为 å= = - = - - = - n i i i d P P P P P P P P x y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ) . 引理 1: 1 2 1 2 d(P , P ) = P - P 满足 1. 对称性: ( , ) ( , ) d P1 P2 = d P2 P1 ; 2. 正定性: d(P1 , P2 ) ³ 0, d(P1 , P2 ) = 0等价于 P1 = P2 ; 3. 三角不等式: "P1 P2 P3 Î Vn , , , 恒有 ( , ) ( , ) ( , ). ( ). 1 2 1 3 3 2 d P P £ d P P + d P P x + y £ x + y 并且等式成立的充分必要条件是 1 2 3 P , P , P 在同一直线上. 证明: 1 和 2 显然, 仅证明 3. 设V1 V2 Î Vn , , 则对任意t Î R , 恒有