(V1-V2,V1-12)=(V1,H1)-2(V1,2)+t2(V2,2)≥ 因此t的二次函数的判别式4(V12)2-4(V1,VV2,H2)≤0.我们得到 Cauchy不等式 (1,V2)2≤(V1,)V2,V2) 并且其中等式成立的充要条件是V1,V2线性相关.对任意B,P2,P3∈Vn,令 V=P-P3,V2=P2-P3,则 d(P,P)2=(V1-V2,n1-V2)=(V1,n)-2(V1,H2)+(V2,V2) ≤(V1,H1)+2V1,H1V2,2)+(V2V2) =(G,F+√0v22)=(dP,P)+d2,P) 得三角不等式等式成立当且仅当存在t使H=12,即B,P2,P3在同一直线上 d(PQ)=|P-称为V的欧氏度量V在定义了欧氏度量后称为n维欧氏空间 通常以R”记之。我们希望利用欧氏度量d(P,Q在R”上建立极限理论,并进一步将一个 变元的微积分推广到多个变元的函数上 定义:设{Pm}m2是R"中一个点列,称m→+∞时Pn→P∈R”,如果 vE>0,N,使得只要m>N,就有d(Pn,P)<E,记为mPn=P0{P}称为收敛 序列 与R中极限相同,我们也可以用邻域的语言描述极限设P∈R",对任意E>0,我们 定义BCP,B)=2∈RdP,Q)<s,B(P,)称为半径为E的P的球形邻域称 B(,)=B,s)-{P}=p∈R|0<dPQ)< 为P的空心E-球形邻域 设P=(x1…,x0),E=(E1…,En)满足E1>0,定义 SP,)=2=(…x)-x<6,1=1…n S(P,E)称为P的长方形ε-邻域.S(P,)=S(P,c)-{P}为长方形的空心E邻域 引理2:对任意E>0,存在E=(E1,…,En)>0和E",使得 B(P,E’)≥S(P,E)=B(PE") 22 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( 2 , 2 ) 0 2 V1 - tV2 V1 - tV2 = V1 V1 - t V1 V2 + t V V ³ . 因此t 的二次函数的判别式4( , ) 4( 1 , 1 )( 2 , 2 ) 0 2 V1 V2 - V V V V £ . 我们得到 Cauchy 不等式 ( , ) ( , )( , ) 1 1 2 2 2 V1 V2 £ V V V V . 并且其中等式成立的充要条件是 1 2 V ,V 线性相关 . 对任意 P1 P2 P3 Î Vn , , , 令 1 1 3 2 2 3 V = P - P ,V = P - P , 则 ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) . ( , ) 2 ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 1 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 V V V V d P P d P P V V V V V V V V d P P V V V V V V V V V V = + = + £ + + = - - = - + 得三角不等式. 等式成立当且仅当存在t 使 1 2 V = tV , 即 1 2 3 P , P , P 在同一直线上. d(P,Q) = P - Q 称为 Vn的欧氏度量. Vn 在定义了欧氏度量后称为 n 维欧氏空间, 通常以 n R 记之. 我们希望利用欧氏度量 d(P,Q)在 n R 上建立极限理论, 并进一步将一个 变元的微积分推广到多个变元的函数上. 定 义 : 设 { }m m=1,2,L P 是 n R 中一个点列 , 称 m ® +¥ 时 n Pm ® P0 Î R , 如 果 "e > 0, $N , 使得只要m > N , 就有 ( , ) < e d Pm P0 , 记为 0 lim Pm P m = ®+¥ . {Pm}称为收敛 序列. 与R 中极限相同, 我们也可以用邻域的语言描述极限. 设 n P Î R , 对任意e > 0, 我们 定义 B(P, e ) = {Q Î d (P,Q) < e} n R , B(P, e ) 称为半径为e 的 P 的球形邻域. 称 B0 (P,e ) = B(P,e ) - {P} = {Q Î 0 < d (P,Q) < e} n R 为 P 的空心e -球形邻域. 设 ( , , ), ( , , ) 1 0 0 1 n n P = x L x e = e L e 满足ei > 0 , 定义 S(P, ) {Q (x , , xn ) xi xi i , i 1, ,n} 0 e = = 1 L - < e = L . S(P,e ) 称为 P 的长方形e -邻域. S0 (P,e ) = S(P,e ) - {P}为长方形的空心e -邻域. 引理 2: 对任意e ¢ > 0, 存在 ( , , ) 0 ~e = e1 L e n > 和e ¢¢ , 使得 ) ( , ) ~ B(P, e ¢) É S (P,e É B P e ¢¢