利用E-邻域,Pn→P可表示为对P的任意E-邻域U(E),丑N,只要m>N,就 有Pn∈U(P0,E) 如果将P用坐标表示为P=(x1,…,xn),则上面长方形ε-邻域的极限描述等价于 引理3:设Pn=(x1",…,xm),P=(x1,…,xn),则 lim p=P0的充分必要条件是对 i=1,…,n都有lmxm=x 即序列Pn收敛于P等价于Pn的每一个分量收敛于P对应的分量 利用不等式 m{x-x=Pn-|=yx-x)2+…+(x2-x2) 也可直接得到上面引理.下面讨论中我们将以B(P,E)为例,其结论对S(P,E)也成立 设ScR是任意给定的集合.利用E-邻域,我们可以将R"中所有的点相对于S进行 分类 内点:P∈R”称为S的内点,如果存在E>0,使B(P,E)cS.以S°记S的所有内 外点:P∈R称为S的外点,如果存在E>0,使得P的E-邻域B(PE)cR”-S 边界点:如果P∈R"既不是S的内点,也不是S的外点,则P称为S的边界点 以S记集合S的所有边界点,则不难看出aS=R"-(SU(R"-Sy)或表示为 P∈R"为S的边界点,如果ⅤE>0,恒有B(P,E)∩S≠⑧,B(P,E)∩(R"-S)≠ 边界点可进一步分类 孤立点:P∈R"称为S的孤立点,如果存在E>0,使得B(P,E)∩S={P} 显然孤立点都是边界点 极限点:P∈R”为S的极限点,如果VE>0,B0(P,E)∩S≠ 容易看出,P为S的极限点等价于存在序列{Pn}S-{P},满足mPn=P,显然 内点都是S的极限点而P∈aS如果不是S的孤立点,则必是S的极限点 集合S称为开集,如果S的所有点都是S的内点,即S为开集→>S=S°3 利用 e -邻域, Pm ® P0 可表示为对 P0 的任意 e -邻域U (P0 , e ),$N , 只要m > N , 就 有 ( , ) 0 P U P e m Î . 如果将 Pm 用坐标表示为 ( , , ) 1 m n m m P = x L x , 则上面长方形e -邻域的极限描述等价于 引理 3: 设 ( , , ), ( , , ) 0 0 1 0 1 n m n m m P = x L x P = x L x , 则 0 lim Pm P m = ®+¥ 的充分必要条件是对 i = 1,L, n 都有 0 lim i m i m x = x ®+¥ . 即序列 Pm 收敛于 P0 等价于 Pm 的每一个分量收敛于 P0 对应的分量. 利用不等式 { } , max ( ) ( ) 0 0 1 1 0 2 0 2 0 1 1 0 1 n m n m n m n m i m m i i n x x x x x x P P x x x x £ - + + - - £ - = - + + - £ £ L L 也可直接得到上面引理. 下面讨论中我们将以B(P, e ) 为例, 其结论对S(P,e ) 也成立. 设 n S Ì R 是任意给定的集合. 利用e -邻域, 我们可以将 n R 中所有的点相对于 S 进行 分类. 内点: n P Î R 称为 S 的内点, 如果存在e > 0, 使B(P, e ) Ì S . 以S° 记 S 的所有内 点. 外点: n P Î R 称为 S 的外点, 如果存在e > 0, 使得 P 的e -邻域 B P S n ( , e ) Ì R - . 边界点: 如果 n P Î R 既不是 S 的内点, 也不是S 的外点, 则P 称为 S 的边界点. 以 ¶S 记集合 S 的所有边界点, 则不难看出 ¶S = - (S° ( - S)°) n n R U R . 或表示为 n P Î R 为 S 的边界点, 如果"e > 0, 恒有B(P, e ) I S ¹ Æ , B(P, ) ( - S) ¹ Æ n e I R . 边界点可进一步分类. 孤立点: n P Î R 称为 S 的孤立点, 如果存在e > 0, 使得B(P, e) I S = {P}. 显然孤立点都是边界点. 极限点: n P Î R 为 S 的极限点, 如果"e > 0, B0 (P, e ) I S ¹ Æ . 容易看出, P 为 S 的极限点等价于存在序列{P } S {P} m Ì - , 满足 0 lim Pm P m = ®+¥ . 显然 内点都是 S 的极限点. 而PÎ ¶S 如果不是 S 的孤立点, 则必是S 的极限点. 集合 S 称为开集, 如果S 的所有点都是 S 的内点, 即S 为开集ÜÞ S = S°