如果S=⑧,则S°=⑧,因此S=S°,所以空集是开集 容易看出开集满足:有限个开集的交是开集;任意多个开集的并也是开集 集合S称为闭集,如果R"-S为开集 由于空集是开集,因此R"=R"-⑧是闭集.而R"显然是开集,所以=R"-R 是闭集 思考题:证明R"和空集是R”中唯一的两个既开又闭的集 由闭集定义不难得到:任意多个闭集的交是闭集,有限个闭集的并也是闭集 对于任意集合S,令S为所有包含S的闭集的交.S是包含S的最小闭集,称为S的 闭包 引理4S是闭集的充分必要条件是下面假设中有一个成立 S=S b)S=soFas c)如果P是S的极限点,则P∈S 证明留给读者 称集合ScR”是道路连通的,如果对S中任意两点P,Q,都存在R”中的一条连续曲 线r(1):t→(x;(t)…,xn()t∈[0],其中x()连续,使得r(0)=P,r(1)=Q,且 vt∈[0,1r(D)∈S R〃中连通的开集称为区域,我们一般用D表示区域的闭包D称为闭区域 §1.2R"的完备性 一元微积分的极限理论是建立在实数完备的基础上.利用实数的完备性,我们才有可能 有好的极限,并在此基础上建立微积分的其它理论 对于R",我们同样需要将其极限建立在R”的完备性上与R不同的是,当n≥2时 R"的点并无大小顺序,因此确界原理和单调有界序列有极限这两个定理不能推广到R"上 但与之等价的关于实数完备性的其它定理在Rn上都是成立的.下面我们将以平面R2为例 表述和证明这些定理,其相应结论对所有R”都成立4 如果 S = Æ , 则S° = Æ , 因此S = S°, 所以空集是开集. 容易看出开集满足: 有限个开集的交是开集; 任意多个开集的并也是开集. 集合 S 称为闭集, 如果 S n R - 为开集. 由于空集是开集, 因此 = - Æ n n R R 是闭集. 而 n R 显然是开集, 所以 n n Æ = R - R 是闭集. 思考题: 证明 n R 和空集Æ是 n R 中唯一的两个既开又闭的集. 由闭集定义不难得到: 任意多个闭集的交是闭集, 有限个闭集的并也是闭集. 对于任意集合 S , 令S 为所有包含 S 的闭集的交. S 是包含 S 的最小闭集, 称为 S 的 闭包. 引理 4: S 是闭集的充分必要条件是下面假设中有一个成立: a) S = S ; b) S = S°U¶S ; c)如果P 是 S 的极限点, 则PÎ S . 证明留给读者. 称集合 n S Ì R 是道路连通的, 如果对S 中任意两点 P,Q , 都存在 n R 中的一条连续曲 线 ( ) : ( ( ), , ( )), [0,1] r t t ® x1 t L xn t t Î , 其 中 x (t) i 连 续 , 使 得 r(0) = P,r(1) = Q , 且 "t Î[0,1], r(t) Î S . n R 中连通的开集称为区域, 我们一般用D 表示. 区域的闭包D 称为闭区域. §1.2 n R 的完备性 一元微积分的极限理论是建立在实数完备的基础上. 利用实数的完备性, 我们才有可能 有好的极限, 并在此基础上建立微积分的其它理论. 对于 n R , 我们同样需要将其极限建立在 n R 的完备性上. 与R 不同的是, 当n ³ 2 时 n R 的点并无大小顺序, 因此确界原理和单调有界序列有极限这两个定理不能推广到 n R 上. 但与之等价的关于实数完备性的其它定理在 n R 上都是成立的. 下面我们将以平面 2 R 为例, 表述和证明这些定理, 其相应结论对所有 n R 都成立