序列{Pm}称为有界序列,如果存在M使得vm,恒有Pm≤M 定理1(波尔察诺):如果{Pn}是R2中的有界序列,则{Pn}中有收敛子列 证明:设Pn=(xm,ym),{Pn}有界,则序列xm}和{ym}都是R中有界序列因此 xm}中有收敛子列m},而对应的序列bm}也有收敛子列{m},得序列 {mn=(m,m,收敛 序列{Pn}称为 Cauchy列,如果E>0,3N,只要n>N,m>N,就有|pn-PkE 定理2( Cauchy准则):序列{Pn}收敛的充分必要条件是{Pn}为 Cauchy列 证明:设 lim P=P,则vE>0,只要m>N,就有|Pn-P|k5.因此 n>N,m>N时,由三角不等式得|Pn-Ps|Pn-Pl+n-P‖<E,得{Pm}是 Cauchy列 反之,设{Pm}是 Cauchy列.取E=1,则彐N,使n>N时|p-Pk1.因此 Ps|+|P-Pl<卩|+1.而{P…P}显然有界,得{Pm}是有界列由波 尔察诺定理,{n}中有收敛子列P→P.ⅤE>0,由{n}是 Cauchy列,得彐N1,使 n>N,m>N时,P-P|<5.而由P→P得存在N2,使n1>N2时 -|<2令N=mN,M},取定一m>N,则对任意m>N n-硎sa-Pn|+|Pn-f|<E,即mP=P 定义:设ScR2,令d(S)=spP-qpQ∈S,d(s)称为集合S的直径对 R2中任意集合S1S2,定义d(S1S2)=mrf{P-Q∈S2Q∈S2},dS,S2)称为集合 S1,S2的距离 定理3区间套原理):设{}是R2中一列闭集,满足 1.wn,Fn≠5 序列{Pm}称为有界序列, 如果存在M 使得"m , 恒有 Pm £ M . 定理 1(波尔察诺): 如果{Pm}是 2 R 中的有界序列, 则{Pm}中有收敛子列. 证明: 设 ( , ) m m m P = x y , {Pm}有界, 则序列{xm}和 {ym}都是 R 中有界序列. 因此 {xm} 中有收敛子列 { } mk x , 而对应的序列 { } mk y 也有收敛子列 { } mk l y , 得序列 { ( )} mk l mk l mk l P = x , y 收敛. 序列{Pm}称为 Cauchy 列, 如果"e > 0, $N , 只要n > N,m > N , 就有 - < e Pn Pm . 定理 2(Cauchy 准则): 序列{Pm}收敛的充分必要条件是{Pm}为 Cauchy 列. 证明: 设 0 lim Pm P m = ®+¥ , 则 "e > 0, $N , 只要 m > N , 就有 2 0 e Pm - P < . 因此 n > N,m > N 时 , 由三角不等式得 - £ - + - < e Pn Pm Pn P0 Pm P0 , 得 {Pm} 是 Cauchy 列. 反之, 设 {Pm}是 Cauchy 列. 取 e =1 , 则 $N , 使 n > N 时 1 PN +1 - Pn < . 因此 1 Pn £ PN +1 + PN +1 - Pn < PN+1 + . 而{P1 ,L,PN }显然有界, 得{Pm}是有界列. 由波 尔察诺定理, {Pm}中有收敛子列 Pmk ® P0 . "e > 0, 由{Pm}是 Cauchy 列, 得$N1 , 使 1 1 n > N ,m > N 时 , 2 e Pn - Pm < . 而 由 Pnk ® P0 得存在 N2 , 使 nk > N2 时 , 2 0 e P - P < nk . 令 max{ , } N = N1 N2 , 取定一 mk > N , 则对任意 m > N , - £ - + - < e P P0 P P P P0 m m mk mk , 即 0 lim Pm P m = ®+¥ . 定义: 设 2 S Ì R , 令d(S) = sup{ P - Q P,Q Î S}, d (S ) 称为集合 S 的直径. 对 2 R 中任意集合 1 2 S ,S , 定义 { } 1 2 1 2 d(S , S ) = inf P -Q P Î S ,QÎ S , ( , ) d S1 S2 称为集合 1 2 S ,S 的距离. 定理 3(区间套原理): 设{Fn }是 2 R 中一列闭集, 满足 1. "n, Fn ¹ Æ ;