2. F CF 3.d(Fn)→>0 则存在唯一的一个点P,使得{P∈∩F 证明:Fn≠②,可取一点P∈F,得一序列{Pn}由lmd(F)=0,得 VE>0,三N,只要n>N,就有d(Fn)<E.因此n>N,m>N时,设m≥n,则由 FCFn,得Pm∈Fn|n-P‖d(F)<E.{}是一 Cauchy列.由 Cauchy准则,得 {Pn}收敛于某一点P0而对任意Fn,由n>m后P∈Fn,如果PgFn,则P是Fn的极 限点而F是闭集,包含其所有极限点,所以必须P∈Fm,即P∈∩F唯一性显然 上面定理中我们用有界闭集代替了R中闭区间,同样的结果对开复盖定理也成立 定义:设ScR2,集合U={称为S的开复盖,如果对每一个a∈A,U是 R中开集而且 SUU.S称为紧集如果对S的任意开复盖{aA4,都可选出有 限个元素{叫,…,Um},使其亦构成S的开复盖 定理4开复盖定理):R2中有界闭集是紧集 证明:用反证法设F是R2中有界闭集,U=ua∈4}是F的一个开复盖,且U 中不存在有限个元素复盖F F有界,可设F包含在一个闭正方形D中将D1四等分,得四个小的闭正方形,其中 必有一个与F的交不能被U有限复盖,记之为D2.以此类推,则我们得一列闭正方形 {Dn},使Dn1cD,d(Dn1)=d(Dn).而Dn∩F不能被U中元素有限复盖但 {Dn∩F}是满足区间套原理的一列闭集,因此存在一点P,使{P}=∩(Dn∩F)特别 的,P∈F.而U是F的开复盖,存在Ua∈U,使B∈U·但Ua是开集,知存在E>0 使B(P,E)cUa,而d(Dn∩F)→0,因此n充分大后,总有d(Dn∩F)<E.而6 2. Fn+1 Ì Fn ; 3. d(Fn ) ® 0 . 则存在唯一的一个点 P , 使得 I +¥ = Î 1 { } n P Fn . 证 明 : Fn ¹ Æ , 可取一点 Pn Î Fn , 得一序列 {Pn } . 由 lim ( ) = 0 ®+¥ n n d F , 得 "e > 0, $N , 只要 n > N , 就有 ( ) < e d Fn . 因此 n > N,m > N 时, 设 m ³ n , 则由 Fm Ì Fn , 得Pm Î Fn . - £ ( ) < e m n Fn P P d . {Pn }是一 Cauchy 列. 由 Cauchy 准则, 得 {Pn }收敛于某一点 P0 . 而对任意Fm , 由n > m后 Pn Î Fm , 如果P0 Ï Fm , 则P0 是 Fm的极 限点. 而Fm是闭集, 包含其所有极限点, 所以必须P0 Î Fm , 即 I +¥ = Î 1 0 n P Fn . 唯一性显然. 上面定理中我们用有界闭集代替了R 中闭区间, 同样的结果对开复盖定理也成立. 定义: 设 2 S Ì R , 集合 { } U U ÎA = a a 称为 S 的开复盖, 如果对每一个a Î A , Ua 是 2 R 中开集, 而且 U A S U Î Ì a a . S 称为紧集, 如果对 S 的任意开复盖 { } Ua aÎA , 都可选出有 限个元素{ }k Ua Ua , , 1 L , 使其亦构成S 的开复盖. 定理 4(开复盖定理): 2 R 中有界闭集是紧集. 证明: 用反证法. 设F 是 2 R 中有界闭集, U = {U a Î A} a 是 F 的一个开复盖, 且U 中不存在有限个元素复盖 F . F 有界, 可设F 包含在一个闭正方形 D1中. 将 D1四等分, 得四个小的闭正方形, 其中 必有一个与 F 的交不能被U 有限复盖, 记之为 D2 . 以此类推, 则我们得一列闭正方形 {Dn } , 使 Dn+1 Ì Dn , ( ) 2 1 ( ) n 1 Dn d D = d + . 而 Dn I F 不能被 U 中元素有限复盖. 但 {Dn I F}是满足区间套原理的一列闭集, 因此存在一点 P0 , 使{ } I I +¥ = = 1 0 ( ) n P Dn F . 特别 的, P0 Î F . 而U 是 F 的开复盖, 存在Ua ÎU , 使P0 ÎUa . 但Ua 是开集, 知存在e > 0, 使 a B(P0 ,e ) Ì U , 而 d(Dn I F) ® 0 , 因 此 n 充分大后, 总有 d(D F) < e n I . 而