P∈Dn∩F,所以Dn∩FcB(B,E)cU.即U就是Dn∩F的复盖,与Dn∩F不 能被U中有限个元素复盖的假设矛盾 定理4的逆亦成立,这里就不证了 §1.3多元连续函数的性质 在现实生活中我们常说一个事物的结果受多种因素的影响.如果将这句话数字化,设 事物变量y由n种因素变量x;,i=1,…,n决定,我们就称这一事件发生在n维空间中,其 规律由映射(x1,…,xn)→y=f(x1…,xn)决定。我们得到R”中一个集合上的n元函数 我们希望将一元函数的微积分推广到n元函数上下面以R2为例 设ScR2,z=f(x,y):S→R是S上二元函数.设P=(x0,y)是S的一个极限 点(P∈S或PgS),称P=(x,y)∈S趋于P时∫(x,y)趋于A,如果vE>0,3δ>0, 只要P=(x,y)∈S且0s|P-B<6,就有f(x,y)-4<E,记为mf(x,y)=A 由于P→P等价于对P=(x,y),同时有x→x3y→yo,因此lmf(x,y)也表示 为lmf(x,y),称为x和y的重极限,或称全面极限 例:令 ≠0 x 则P沿任意直线y=kx趋于原点时,f(x,y)趋于零,因而都存在且相等.但对k≠0,P 沿y=kx2趋于(00)时,f(x,y)趋于k.因而重极限mf(x,y)不存在 利用E-邻域,则重极限mf(x,y)=A可表示为对A的任意E-邻域U/(A,E),存在 P=(x,y)的δ-空心邻域U0(P,6),使得∫(S∩U0(P,6)cU(A,E) 定义:设∫(x,y)是集合S上的函数,称∫(x,y)在点P=(x02y)∈S是连续的,如 果对∫(x0,y)任意ε·邻域U(∫(x0,y)E),存在P的δ-邻域U(B0,06),使得 77 P0 Î Dn I F , 所以 a Dn I F Ì B(P0 ,e ) Ì U . 即Ua 就是 Dn I F 的复盖, 与 Dn I F 不 能被U 中有限个元素复盖的假设矛盾. 定理 4 的逆亦成立, 这里就不证了. §1.3 多元连续函数的性质 在现实生活中我们常说一个事物的结果受多种因素的影响. 如果将这句话数字化, 设 事物变量 y 由n 种因素变量 xi , i = 1,L,n 决定, 我们就称这一事件发生在 n 维空间中, 其 规律由映射( , , ) ( , , ) 1 n 1 n x L x ® y = f x L x 决定. 我们得到 n R 中一个集合上的 n 元函数. 我们希望将一元函数的微积分推广到 n 元函数上. 下面以 2 R 为例. 设 2 S Ì R , z = f (x, y) : S ® R 是 S 上二元函数. 设 ( , ) 0 0 0 P = x y 是 S 的一个极限 点( P0 Î S 或 P0 Ï S ), 称 P = (x, y)Î S 趋于 P0 时 f (x, y) 趋于 A , 如果"e > 0, $d > 0 , 只要 P = (x, y)Î S 且0 £ P - P0 < d , 就有 f (x, y) - A < e , 记为 f x y A P P = ® lim ( , ) 0 . 由于 P ® P0等价于对 P = ( x, y) , 同时有 0 0 x ® x , y ® y , 因此 lim ( , ) 0 f x y P®P 也表示 为 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x ® ® , 称为x 和 y 的重极限, 或称全面极限. 例: 令 ï î ï í ì = ¹ = 0, 0. , 0; ( , ) 2 y y y x f x y 则 P 沿任意直线 y = kx趋于原点时, f (x, y) 趋于零, 因而都存在且相等. 但对k ¹ 0 , P 沿 2 y = kx 趋于(0,0) 时, f (x, y) 趋于k . 因而重极限lim ( , ) 0 0 f x y y x ® ® 不存在. 利用 e -邻域, 则重极限 f x y A y y x x = ® ® lim ( , ) 0 0 可表示为对 A 的任意 e -邻域U (A,e ) , 存在 ( , ) 0 0 0 P = x y 的d -空心邻域 ( , ) 0 0 U P d , 使得 ( ( , )) ( , ) 0 0 f S IU P d Ì U A e . 定义: 设 f (x, y) 是集合 S 上的函数, 称 f (x, y) 在点 P0 = (x0 , y0 ) Î S 是连续的, 如 果 对 ( , ) 0 0 f x y 任 意 e - 邻 域 ( ( , ), ) 0 0 U f x y e , 存 在 P0 的 d - 邻 域 ( , ) 0 U P d , 使 得