∫(S∩U(P3,δ)cU((x0y)E).称∫(x,y)在S上连续,如果∫(x,y)在S的每一点 P∈S都是连续的 由定义不难看出,如果f是S的孤立点,则任意∫(x,y)在P都是连续的.如果P是 S的极限点,则f(x,y)在P=(x0,y0)连续的充分必要条件是lmf(x,y)=f(x0,y0) 定理1( Weierstrass定理):如果∫(x,y)是R中有界闭集S上连续函数,则f(x,y)在 S上有界,并达到其上下确界 证明:令M=sp{(x,y)|(x,y)∈S},则存在中的序列Pn=(xn,yn),使得 mf(xn,yn)=M.由S有界,P是有界序列,因而有收敛子列,不妨设 Pn→>B=(xo,y).S是闭集,因而P∈S.但∫(x,y)在P连续,所以必须 im∫(xn,yn)=∫(x0yo).而极限是唯一的,得M=f(x0,y).f(x,y)有上界并达到 上确界 定义:设∫(x,y)是集合S上的函数,称∫(x,y)在S上一致连续,如果 vE>0.,3δ>0,只要P=(x1yn1)∈S,P2=(x2,y2)∈S且|-P<δ,就有 (x1,y)-f(x2y2)<E 与一个变元相同,如果∫(x,y)在S上一致连续,则必连续,但反之并不成立 定理2( Cantor定理):有界闭集上的连续函数必一致连续 证明:证明与一元函数相同 用反证法设f(x,y)在S上不一致连续,则存在E0>0,使得对任意1存在 Pn=(xnyn)∈S,和Qn=(xn,yn)∈S 满足∥/ (xn,yn)-f(xny≥E0,由S有界,因而{n包n}都是有界序列,存在收敛子列 Pn→P.而S是闭集,所以必有P∈S.但8 ( ( , )) ( ( , ), ) 0 0 0 f S IU P d Ì U f x y e . 称 f (x, y) 在 S 上连续, 如果 f (x, y) 在 S 的每一点 PÎ S 都是连续的. 由定义不难看出, 如果 P0 是 S 的孤立点, 则任意 f (x, y) 在 P0 都是连续的. 如果 P0 是 S 的极限点, 则 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 P = x y 连续的充分必要条件是 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = ® ® . 定理 1(Weierstrass 定理): 如果 f (x, y) 是 2 R 中有界闭集 S 上连续函数, 则 f (x, y) 在 S 上有界, 并达到其上下确界. 证明 : 令 M = sup{f (x, y) ( x, y) Î S} , 则存在 S 中的序列 ( , ) n n n P = x y , 使得 f xn yn M n = ®+¥ lim ( , ) . 由 S 有 界 , Pn 是有界序列 , 因而有收敛子列 . 不妨设 ( , ) 0 0 0 P P x y n ® = . S 是闭集 , 因 而 P0 Î S . 但 f (x, y) 在 P0 连 续 , 所 以 必 须 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 f x y f x y n n Pn P = ® . 而极限是唯一的, 得 ( , ) 0 0 M = f x y . f (x, y) 有上界并达到 上确界. 定 义 : 设 f (x, y) 是集合 S 上的函数 , 称 f (x, y) 在 S 上一致连续 , 如 果 "e > 0, $d > 0 , 只 要 P1 = (x1 , y1 )Î S, P2 = (x2 , y2 ) Î S 且 P1 - P2 < d , 就 有 ( , ) - ( , ) < e 1 1 2 2 f x y f x y . 与一个变元相同, 如果 f (x, y) 在 S 上一致连续, 则必连续, 但反之并不成立. 定理 2(Cantor 定理): 有界闭集上的连续函数必一致连续. 证明: 证明与一元函数相同. 用反证法. 设 f (x, y) 在 S 上不一致连续, 则存在e0 > 0, 使得对任意 n n 1 d = , 存在 Pn = (xn , yn ) Î S , 和 Qn = (xn ¢ , yn ¢ ) Î S , 满 足 n Pn Qn 1 - < . 但 0 ( , ) - ( ¢ , ¢ ) ³ e n n n n f x y f x y , 由 S 有界, 因而 {Pn },{Qn } 都是有界序列, 存在收敛子列 Pnk ® P0 . 而S 是闭集, 所以必有P0 Î S . 但