en, -Posem, -P,+Pma P→>0 因而Q→P而f(x,y)在P连续,因此|(xn,yn)-f(x→0,与 J(xn,yn)-f(x,y≥E0>0矛盾 定理3介值定理):设∫(x,y)在S上连续,且S是道路连通的,则对任意 P∈S,Q∈S,及c∈[f(P),f(Q,存在∈S,使得 ) 证明:S道路连通,则存在S中的连续曲线γ:t→(x(,y(),使得 y(0)=P,y(1)=Q,因此t→>f((1)是[0,1上连续函数.而c∈[fqy(0),f(y(1),由 元连续函数的介值定理,知存在∈[0,,使得∫(y(0))=c.令Q=y(t0),则 容易看出连续函数经加、减、乘、除和复合后仍是连续函数.特别的,我们常用的用 元初等函数经简单运算得到的多元函数都是连续的 设D={a,b×[c,d]<R2是R2中矩形区域,f(x,y)是D上连续函数.容易看出,固 定任意x∈[a,b]后,f(x0,y)是y在[c,d]上的连续函数.同样对任意y∈[c,d], ∫(x,y)是x在[ab]上的连续函数.但反之并不成立 例:令 f(x,y)=1x2+y2.(xy)≠(00) 0(x,y)=(00) ∫(x,y)对x和y都是连续的,但lnf(x,y)并不存在.因此作为二元函数∫(x,y)在 (0.0)点不连续 设ScR",TcRm,映射F:S→T称为向量函数.利用R”的坐标(x1,…,xn)和 R的坐标(y12…,ym),则F可表示为9 0 Qnk - P0 £ Qnk - Pnk + Pnk - P0 ® , 因 而 Qnk ® P0 . 而 f (x, y) 在 P0 连 续 , 因 此 ( , ) - ( ¢ , ¢ ) ® 0 k k k k n n n n f x y f x y , 与 f (xn , yn ) - f (x¢ n , y¢ n ) ³ e0 > 0矛盾. 定 理 3(介值定理 ): 设 f (x, y) 在 S 上连续 , 且 S 是道路连通的 , 则对任意 P Î S, Q Î S , 及c Î[ f (P), f ( Q)] , 存在Q Î S ~ , 使得 f (Q) = c ~ . 证 明 : S 道路连通 , 则存在 S 中的连续曲线 g : t ® (x(t), y(t)) , 使 得 g (0) = P,g (1) = Q , 因此t ® f (g (t)) 是[0,1]上连续函数. 而c Î[ f (g (0)), f ( g (1))] , 由 一元连续函数的介值定理, 知存在 [0,1] t 0 Î , 使得 f ( (t )) = c 0 g . 令 ( ) ~ 0 Q = g t , 则 f (Q) = c ~ . 容易看出连续函数经加、减、乘、除和复合后仍是连续函数. 特别的, 我们常用的用一 元初等函数经简单运算得到的多元函数都是连续的. 设 2 D = [a,b]´[c,d] Ì R 是 2 R 中矩形区域, f (x, y) 是 D 上连续函数. 容易看出, 固 定任意 [ , ] x0 Î a b 后, ( , ) 0 f x y 是 y 在 [c, d] 上的连续函数. 同样对任意 [ , ] y0 Î c d , ( , ) 0 f x y 是 x 在[a, b]上的连续函数. 但反之并不成立. 例: 令 ï î ï í ì = ¹ = + 0, ( , ) (0,0). , ( , ) (0,0); ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y f (x, y) 对 x 和 y 都是连续的, 但 lim ( , ) 0 0 f x y y x ® ® 并不存在. 因此作为二元函数 f (x, y) 在 (0,0) 点不连续. 设 n m S Ì R , T Ì R , 映射 F : S ® T 称为向量函数. 利用 n R 的坐标 ( , , ) 1 n x L x 和 m R 的坐标( , , ) 1 m y L y , 则F 可表示为