y1=f1(x1…,xn) 其由m个在S上定义的n元函数组成.利用E-邻域,向量函数的连续性可表示为设P∈S 称F在P点连续,如果E>0,3δ>0,使得F(U(P,δ)∩S)cU(F(P),E).特别的,如 果我们在定义中用长方形E-邻域,则不难看出,向量函数 (x12…,xn)→(f1(x12…,xn),…,f厂m(x1…,x) 连续的充分必要条件是其每一个分量函数(x1…,xn)→f(x12…,xn)都是连续的 向量函数我们同样有:有界闭集上连续的向量函数有界,并且一致连续 习题 设xn是Rm中的点列,若它有极限,证明:xn有界 2.设∈R",=1<l,e,>=0,为与坐标向量e(=12…,m)的夹角,求证 l=(cos1,cos2,…cosn) 3.对任意x,y∈R (1)哥西不等式 x,y)≤|p 中等号何时成立? (2)三角不等式 +训≤ 中等号何时成立? 4.求下列集合Ω的边界g,内部Ω°和闭包Ω: (1)cR2,9=(xy)|0<y<x+1,x>-l} (2)9cR2,g=(rcos6,rsin0)0<r<1,0<0<2x (3)9cR,9={(xy)x或y是无理数 (4)9cR",9={xx0∈R",0<x-xl≤6}6>010 ï î ï í ì = = ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 m m n n y f x x y f x x L LLLLLLL L . 其由m 个在 S 上定义的 n 元函数组成. 利用e -邻域, 向量函数的连续性可表示为设PÎ S , 称 F 在 P 点连续, 如果"e > 0, $d > 0 , 使得F(U (P,d ) I S) Ì U (F(P), e ). 特别的, 如 果我们在定义中用长方形e -邻域, 则不难看出, 向量函数 ( , , ) ( ( , , ), , ( , , )) 1 n 1 1 n m 1 n x L x ® f x L x L f x L x 连续的充分必要条件是其每一个分量函数( , , ) ( , , ) 1 n i 1 n x L x ® f x L x 都是连续的. 对向量函数我们同样有: 有界闭集上连续的向量函数有界, 并且一致连续. 习题 1． 设 n x 是 m R 中的点列, 若它有极限, 证明: n x 有界. 2． 设 i i m l Î R , l = 1, < l,e >=q 为l 与坐标向量e (i 1,2, ,m) i = L 的夹角, 求证: (cos , cos , ,cos ) 1 2 m l = q q L q . 3． 对任意 m x, y Î R , （1）哥西不等式 (x, y) £ x y 中等号何时成立？ （2）三角不等式 x + y £ x + y 中等号何时成立？ 4． 求下列集合W 的边界¶W, 内部W°和闭包 W : （1） , {( , ) 0 1, 1} 2 W Ì R W = x y < y < x + x > - ； （2） , {( cosq , sin q ) 0 1, 0 q 2p} 2 W Ì R W = r r < r < < < ； （3） , {(x, y) x或y是无理数} 2 W Ì R W = ； （4）W Ì , W = {x x, x0 Î , 0 < x - x0 £ d}, d > 0 m m R R ；