证明：设有线性关系式 1a1+r202+…+xmam=0. 把这个等式分别与a1, ,am作内积可以得到变量1，…，工m的一个齐次线性方程组 (a1,a1)E1+(a1,a2)r2+··+(a1,0nEm=0 (a2,a1)1+(a2,a2)r2+…+(a2,am)zm=0 (am:a1)1+(am:02)2+...+(am:am)zm =0 其系数矩阵就是格拉姆矩阵G(α1，·，am).再利用齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可得： 1G(a1,a2,·,am川≠0→齐次线性方程组只有零解红1=…=xm=0→a1,…,am线性无关 11.设e1,2,3是三维证几列得空间V的一个明范通交基 证明：a1=(2e1+22-3,a2=(21-2+2e,a=(e1-2e2-2e3)也是V的-个明 范通交基 证明：直接验证可元，a1,2,a3都是单位向量，且两两通交.故它们是V的单位通交向量组.又因 dimV=3,它们构成V的明范通交基 12.将标准证几列得空间R4的基a1=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,0),a3=(-1,0.0,1),4=(1,1,1,-1) 化为明范通交基 解2(1,1,0,0，(1，-1,2,0,3(-1,1,1,3)，(-1,1,1，-1) 13.求齐次线性方程组 的解空间（作为标准证几列得空间R5的子空间）的一个明范通交基 解：该齐次线性方程组的一个基如解系为 2 0 通交化得 30 0 单位化后得明范通交基 -2a00.-12a-60,腰-0-a2a 238 14.证明：在证几列得空间V中，基1,2，·，m是明范通交基的充分必要条件是对V的任意向 量0=a1e1+a2e2+··+anEn,总有 (a,e)-a4 =1,2,…,n 10 : Gt&*j) x1α1 + x2α2 + · · · + xmαm = 0. NwfV)B α1, · · · , αm /{, >$P= x1, · · · , xm HfHt&@AB:    (α1, α1)x1 + (α1, α2)x2 + · · · + (α1, αm)xm = 0 (α2, α1)x1 + (α2, α2)x2 + · · · + (α2, αm)xm = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (αm, α1)x1 + (αm, α2)x2 + · · · + (αm, αm)xm = 0 <j]^oZ`[]^ G(α1, · · · , αm). 3Ht&@ABGno-0@&12>P: |G(α1, α2, · · · , αm)| 6= 0 ⇐⇒ Ht&@AB{Go-x1 = · · · = xm = 0 ⇐⇒ α1, · · · , αmt&,*. 11.  ε1, ε2, ε3 4FS'Ppq V HfT=rz. ST: α1 = 1 3 (2ε1 + 2ε2 − ε3), α2 = 1 3 (2ε1 − ε2 + 2ε3), α3 = 1 3 (ε1 − 2ε2 − 2ε3) g V HfT =rz. : .}S>, α1, α2, α3 m/ , ?77r. !8 V /r B. Q! dim V = 3, 8u* V T=rz. 12. vUS'PpqR 4 z α1=(1, 1, 0, 0), α2=(1, 0, 1, 0), α3 = (−1, 0, 0, 1), α4 = (1, 1, 1, −1) L"T=rz. : √ 2 2 (1, 1, 0, 0), √ 6 6 (1, −1, 2, 0), √ 3 6 (−1, 1, 1, 3), 1 2 (−1, 1, 1, −1). 13. sHt&@AB ½ x1 − x2 + x3 + 3x4 − x5 = 0 x1 + 2x2 − x3 + 2x5 = 0 -pq (/"US'Ppq R 5 ￾pq) HfT=rz. : Ht&@ABHfz-j" α1 =   −1 2 3 0 0   , α2 =   −2 1 0 1 0   , α3 =   0 −1 0 0 1   . rLP:   −1 2 3 0 0   ,   − 12 7 3 7 − 6 7 1 0   ,   − 5 17 − 23 34 6 17 3 34 1   . /LPT=rz: √ 14 14 (−1, 2, 3, 0, 0), √ 238 238 (−12, 3, −6, 7, 0), √ 1938 1938 (−10, −23, 12, 3, 34). 14. ST: kS'Ppq V , z ε1, ε2, · · · , εn T=rz0@&12: V ￾
 α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, 8G (α, εi) = ai (i = 1, 2, · · · , n). · 10 ·