证明：（→）如c1,…,n是规范正交基，则对任意的a=∑a,有 a,=（2a=a=a =1 (←)如对任意的a=∑a4,有 (a,e）=a4 则写=含a4e,其中a=w.因此 (9,e)=a=d 从而1，…，Gm是规范正交基 15.通过对图中平面内正方形以及几何空间内立方体的观察，归纳出它们的顶点坐标的特征，从 而推导出n维空间的立方体的顶点个数公式，再计算4维空间中的立方体有多少个3维的侧面，多少个 2维的侧面与1维的棱？这个4维立方体有多少种不同长度的对角线？试求它们的长度以及与棱的夹 角。你能否把这些结果推广到n维空间的情形？ (0.1.1) 1,1) 0.1) (1,1) 第15题图 解：n维空间的立方体中，m维子立方体有2-mC”个 当m=0时为顶点个数=2； 当m=1时为棱数=2-1n 当m=2时为面数=2n-3n(n-1):. 其不同长度的对角线有n-1种，长度分别为V2,√3.·，√元 长度为V仄的对角线与棱的夹角为受或aco示 习题5-4 1.试求通过点A(1,1,1)与B(1,0,2)且垂直于平面x+2g--6=0的平面方程 解设所求平面的法向量为v=(A,B,C),则v1AB,v也与平面x+2y-云-6=0的法向量垂 直因此有方程组 0·A+(-1)B+C=0 A+2B-C=0. 解得A:B:C=1:-1:-1.可得点法式方程(c-1)-(y-1)-(2-1)=0,即x-y-z+1=0. 2.平面Ⅱ过3个点M41(3,-1,5),M2(4,-1,1)和M山(2,0,2).求平面Π的一个法向量并求出Ⅱ的 方 解：平面Ⅱ的一个法向量可取为v=×M=(4,7,1.可得点法式方程4（红-2）+7y+ (2-2)=0,即4+7y+2-10=0. 11: (⇒)  ε1, · · · , εn T=rz, J￾
 α = Paiεi , G (α, εi) =   Xn j=1 aj εj , εi   = Xn j=1 aj (εj , εi) = ai . (⇐) ￾
 α = Paiεi , G (α, εi) = ai , J εj = Pn k=1 akεk, < ak = δkj . !O (εj , εi) = ai = δij . C% ε1, · · · , εn T=rz. 15. rN {r@6$h'pq{+@\, P%8~WUi], C %^% n Fpq+@~ff). xg 4 Fpq+@G Ff 3 FD, Ff 2 FDB 1 F? wf 4 F+@G FbUC;w5t? s8;w$hB 5. ^c)NwH"^ n Fpq6? t t t p  t t t p  uuur uuur   !:F z / 
  (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) t t t p  t t t p  uuur uuur   !:F z / 
 q q q uuur  q q q q q q t t t p  * @  @  @  @  @   0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 P P P P P P P P P (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 1) (1, 1, 0) (0,1,0) (0, 1, 1) (1, 1, 1) (1,0,1) ￾ 15
: n Fpq+@, m F￾+@G 2 n−mC m n f. b m = 0 R"~f = 2n; b m = 1 R" = 2n−1n; b m = 2 R" = 2n−3n(n − 1); . . . <UC;w5tG n − 1 b, ;w" √ 2, √ 3, · · · , √ n. ;w" √ k 5tB5" π 2 D arc cos √ 1 k .
5–4 1. srN A(1, 1, 1) B B(1, 0, 2) ?".< x + 2y − z − 6 = 0 @A. : #sD " ν = (A, B, C), J ν ⊥ −→AB, ν gB x + 2y − z − 6 = 0 D " .. !OG@AB ( 0 · A + (−1)B + C = 0 A + 2B − C = 0. -P A : B : C = 1 : −1 : −1. >PD)@A (x − 1) − (y − 1) − (z − 1) = 0,  x − y − z + 1 = 0. 2.  Π N 3 f M1(3, −1, 5), M2(4, −1, 1) : M3(2, 0, 2). s Π HfD , Ws% Π  @A. :  Π HfD >z" ν = −−−−→ M1M2 × −−−−→ M1M3 = (4, 7, 1). >PD)@A 4(x − 2) + 7y + (z − 2) = 0,  4x + 7y + z − 10 = 0. · 11 ·