教案 阶常微分方程 教学内容 在数学理论和实际应用中的许多问题,常常会归结为含有未知量的导数的微 分方程问题,因此微分方程理论是科学研究和实际应用中的重要工具,也是经常 使用的数学方法之一。对于一阶常微分方程的知识的掌握,是进一步了解和学习 更深入的微分方程理论知识的基础,是不可或缺的步骤之一。在本节中主要讲解 以下几方面的内容 (1)介绍一阶微分方程的解的存在与唯一性定理; (2)重点讲解变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli方程的解法; (3)介绍一些可化为这几类方程的方法; (4)根据一些简单数学模型,介绍数学建模的思想。 教学思路和要求 (1)变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli 方程,是本节的内容的基础和重点 (2)因为有固定的方法,如何解这些类方程对于学生来说比较容易。但对于 些方程如何经过适当变形处理后化为这几类方程的技巧,对于学生们来说就不 容易了。这就需要多举例和适当引导,特别是典型技巧的介绍。 (3)通过一些具体实例,介绍一些简单数学模型的建立方法,这对于学生们 了解数学的应用很有帮助,也会提高他们的学习兴趣。这是常微分方程这一章教 学内容的重要环节。 教学安排 解的存在与唯一性定理 导数已解出的一阶常微分方程可以表示为如下的一般形式 女=(xy (10.2.1) y(xo)=yo 对于这类定解问题,有以下解的存在与唯一性定理 定理10.2.1(解的存在与唯一性定理)如果f(x,y)和(x,y)在矩形区域 {(x,y)‖x-xk<a,ly-yk<b}上连续,那么存在一个正数h(0<h≤a),使得 定解问题(1021)在|x-x0k<h上有唯一的解y=(x),即在|x-x0kh上成立 及教 案 一阶常微分方程 教学内容 在数学理论和实际应用中的许多问题，常常会归结为含有未知量的导数的微 分方程问题，因此微分方程理论是科学研究和实际应用中的重要工具，也是经常 使用的数学方法之一。对于一阶常微分方程的知识的掌握，是进一步了解和学习 更深入的微分方程理论知识的基础，是不可或缺的步骤之一。在本节中主要讲解 以下几方面的内容： （1）介绍一阶微分方程的解的存在与唯一性定理； （2）重点讲解变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli 方程的解法； （3）介绍一些可化为这几类方程的方法； （4）根据一些简单数学模型，介绍数学建模的思想。 教学思路和要求 （1）变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli 方程，是本节的内容的基础和重点。 （2）因为有固定的方法，如何解这些类方程对于学生来说比较容易。但对于 一些方程如何经过适当变形处理后化为这几类方程的技巧，对于学生们来说就不 容易了。这就需要多举例和适当引导，特别是典型技巧的介绍。 （3）通过一些具体实例，介绍一些简单数学模型的建立方法，这对于学生们 了解数学的应用很有帮助，也会提高他们的学习兴趣。这是常微分方程这一章教 学内容的重要环节。 教学安排 一．解的存在与唯一性定理 导数已解出的一阶常微分方程可以表示为如下的一般形式       ( ) . ( , ), 0 0 y x y f x y dx dy （10.2.1） 对于这类定解问题，有以下解的存在与唯一性定理 定理 10.2.1（解的存在与唯一性定理) 如果 f (x, y) 和 (x, y) y f   在矩形区域 {( , ) | | | , | | } x y x  x0  a y  y0  b 上连续，那么存在一个正数 h （ 0  h  a ），使得 定解问题（10.2.1）在 | x  x0 | h 上有唯一的解 y (x) ，即在 | x  x0 | h 上成立 (x)  f (x,(x)) 及