yo 这个定理的证明超出本课程的要求,此处从略 在这个定理中,只说明了在局部的解的存在性和唯一性,而且也没有说明解 的表达式如何。事实上,并不是每个一阶常微分方程的解都可以用初等函数或它 们的有限次积分来表达(这种方法称为初等积分法)。例如, Liouville在1841牛 就证明了方程y′=y2+x不能用初等积分法来求解,虽然它看起来形式很简单。 因此,下面对一些常见类型的方程的解法进行介绍 二.变量可分离方程 若一阶方程=f(xy)中的f(x,y)可以分解成x的函数g(x)与y的函数 h(y)的乘积,即 =g(x). hy) (102.2) 则称其为变量可分离方程。 若g(x)与h(y)连续,把原方程改写成 dy h(y) g(x)d 对两边取不定积分,得 (y)=8(xht, 若G(x)是g(x)的一个原函数,H(y)是,的一个原函数,就得到方程的通解 h(y) 这里C是任意常数。这种形式的解也称为隐式解。 若y是方程hy)=0的根,函数y=y也是方程(1022)的解,而且这个解 并不一定包含在通解的表达式中。 例10.2.1求解微分方程 解将此方程化为变量可分离方程 dy ①今后我们总用C表示任意常数。虽然它可能在同一问题中每次出现时并一定相同,也不再特别说明。0 0 (x )  y 。 这个定理的证明超出本课程的要求，此处从略。 在这个定理中，只说明了在局部的解的存在性和唯一性，而且也没有说明解 的表达式如何。事实上，并不是每个一阶常微分方程的解都可以用初等函数或它 们的有限次积分来表达（这种方法称为初等积分法）。例如，Liouville 在 1841 牛 就证明了方程 y   y  x 2 不能用初等积分法来求解，虽然它看起来形式很简单。 因此，下面对一些常见类型的方程的解法进行介绍。 二．变量可分离方程 若一阶方程 f (x, y) dx dy  中的 f (x, y) 可以分解成 x 的函数 g(x) 与 y 的函数 h(y) 的乘积，即 g(x) h(y) dx dy   （10.2.2） 则称其为变量可分离方程。 若 g(x) 与 h(y) 连续，把原方程改写成 g x dx h y dy ( ) ( )  ， 对两边取不定积分，得    g x dx h y dy ( ) ( ) ， 若 G(x) 是 g(x) 的一个原函数， H(y) 是 ( ) 1 h y 的一个原函数，就得到方程的通解 H(y)  G(x) C ， 这里 C 是任意常数①。这种形式的解也称为隐式解。 若 0 y 是方程 h(y)  0 的根，函数 0 y  y 也是方程（10.2.2）的解，而且这个解 并不一定包含在通解的表达式中。 例 10.2.1 求解微分方程 1 2 2         y dx dy 。 解 将此方程化为变量可分离方程 2 1 y dx dy    ， ① 今后我们总用 C 表示任意常数。虽然它可能在同一问题中每次出现时并一定相同，也不再特别说明