1)当0<1-<1时,此时有2=<1 1 1 之 2-2+2 两边求导得 nin+ (5分) (2)当1<|z-i<+∞时,此时有 <1, 1 z-1+2z-2 1+ 两边求导得 (-1)2(n+1) (z-i)n+2 (5分) 四(9分).求分式线性映射u=f(x),它将上半平面Im(z)>0映射成单位圆 l<1,且满足条件f()=0,argf()= 解所求分式线性映射的一般形式为 (Im(X)>0) (2分) 由条件f()=0知,所求的映射将点z=i映射成单位圆周的圆心v=0.所以 f()=e (3分) 因为 f(x)=e° (z+i)2 故有 f(i)=e°(--) 所以 argf(i)= arge +arg( e+(-2 (3分) 于是所求映射为5 (1)  0 < |z − i| < 1 z￾z&     z − i i     < 1 1 z = 1 z − i + i = 1 i · 1 1 + z − i i = 1 i X∞ n=0  − z − i i n = − X∞ n=0 i n+1(z − i) n W o 1 z 2 = X∞ n=1 nin+1(z − i) n−1 . (5 +) (2)  1 < |z − i| < +∞ z￾z&     i z − i     < 1, 1 z = 1 z − i + i = 1 z − i · 1 1 + i z − i = 1 z − i X∞ n=0 (−1)n i n (z − i) n = X∞ n=0 (−1)n i n (z − i) n+1 W o 1 z 2 = X∞ n=0 (−1)n (n + 1)i n (z − i) n+2 . (5 +) (9 +). o+|$x w = f(z), Fwjc Im(z) > 0 $xÆ+ |w| < 1, n`<E f(i) = 0, argf 0 (i) = π 2 . B o+|$x!| w = eiθ  z − λ z − λ  , (Im(λ) > 0). (2 +) %E f(i) = 0 3￾o!$xF" z = i $xÆ+5!+ w = 0,  f(z) = eiθ  z − i z + i  . (3 +) " f 0 (z) = eiθ 2i (z + i) 2 , 6& f 0 (i) = eiθ(− i 2 ).  argf 0 (i) = argeiθ + arg(− i 2 ) = θ + (− π 2 ) = π 2 , θ = π. (3 +) (~o$x w = − z − i z + i . (1 +)