3.计算积分 dz,其中C是正向圆周:|z=2 之COS之 解被积函数—在|z|<2内有三个奇点:z=0和 它们都是一级 极点(2分)所以 Res[f(2),0 1;(1分) Acos Res f(2), (acos ) (1分) Res [f(2),-5 2 (acos) (1分) 所以 dz=2i Res[f(a),0)+Res f(a),+Res f(a) (2分) 4.计算积分p2e-tdz,其中,C是正向单位圆周 解被积函数f(2)=2e在0<|<+∞内解析,它的洛朗展开式是: 少xx (5分) 所以 22e-=dx= 2Ti Res[f(a),0)=2Tic-1 丌.(2分) 三(10分求函数f(2)=在圆环域:(1)0<|-i<1;(2)1<|2-i<+∞ 内的洛朗级数展开式 解注意到=0是函数的奇点,故∫(2)分别在这两个圆环域内是处处解 析的,可以展开成洛朗级数.4 3. D?+ I C 1 zcosz dz, l4 C ~1+5 |z| = 2. B ?9
1 zcosz , |z| < 2 f&v0m" z = 0 ; z = ± π 2 , a%~C @" (2 +).  Res[f(z), 0] = 1 (zcosz) 0     z=0 = 1; (1 +) Res h f(z), π 2 i = 1 (zcosz) 0     z= π 2 = − 2 π ; (1 +) Res h f(z), − π 2 i = 1 (zcosz) 0     z=− π 2 = − 2 π . (1 +)  I C 1 zcosz dz = 2πin Res[f(z), 0] + Res h f(z), π 2 i + Res h f(z), − π 2 io = 2πi  1 − 4 π  . (2 +) 4. D?+ I C z 2 e − 1 z dz, l4￾ C ~1Æ+5
I ?9
f(z) = z 2 e − 1 z , 0 < |z| < +∞ fH￾!_S.K|~ z 2 e − 1 z = z 2  1 − 1 z + 1 2! 1 z 2 − 1 3! 1 z 3 + · · ·  = z 2 − z + 1 2! − 1 3! 1 z + · · · (5 +)  I C z 2 e − 1 z dz = 2πi · Res[f(z), 0] = 2πic−1 = − 1 3 πi. (2 +) v (10 +). o9
f(z) = 1 z 2 ,+>) (1) 0 < |z − i| < 1; (2)1 < |z − i| < +∞ f!_SC
.K|
B 7! z = 0 ~9
1 z 2 !m"￾6 f(z) +,/W0+>)f~H !￾O .K_SC