对因为x2+y2<4内意因z=0复定射下意像是数∞,案以定射m=1+学 分古x2+y2<4定成v平面上意u2+n2>(圆) 数年按下列正题(4×7=28圆) 1年按大圆2,其中收间≠1,≠0C是正向单变分古数 径一l>1时收填大准f()=(2-05复单变分内有一针奇因=0根 据柯西大圆公式收以数 Cos之 2(2-a2) l<1时收填大准f(2)=3一复单变分内有三针奇因:=0,-aa 复C作三条互不题转收互不相邮意微曲线C1,C2和C3,圆析题转0,-a和a.根据 在足微路定理和柯西大圆公式收以数 cos之 COSz cos之 Cos之 COSZ CoSZ 222 +2x z=0 之(z-a 2(z+a 1)i (4圆) 2.求准f(z) 2(2+1)2复扩向在平面内意孤立奇因处意留.数 解z=0是f(x)意可去奇因收z=-1是∫(x)意2京第因收z=∞是f(x)意 条性奇因(1圆).案以 Resf(z),0=0;(2圆) Res[f(z),1 ma(2+1)2.-sm2 2(z+1)2 d「sin2z =-2cos2+sin2.(2圆) 根据f(x)复案有正孤立奇因处意留.意总和为零收以 Res[f(a), oo]=-ResIf(a),0][(a),1= 2cos2-sin2.(2 A)3 '" x 2 + y 2 < 4 f!" z = 0 ,$x!~ ∞,  $x w = 1 + i z F +5 x 2 + y 2 < 4 $ w jcw! u 2 + v 2 > 1 2 (4 +). )
DY1 (4 × 7 = 28 +) 1. D?+ I C cosz z(z 2 − a 2) dz, l4￾ |a| 6= 1, a 6= 0, C ~1Æ+5
I  |a| > 1 z￾ ?9
f(z) = cosz z(z 2 − a 2) ,Æ+f&0m" z = 0, 2 JN?+3|￾ I C cosz z(z 2 − a 2 ) dz = 2πi  cosz z 2 − a 2      z=0 = − 2πi a 2 . (3 +)  |a| < 1 z￾ ?9
f(z) = cosz z(z 2 − a 2 ) ,Æ+f&v0m" z = 0, −a, a. , C =v=8￾=G!q C1, C2 ; C3, +8 0, −a ; a. 2J ,<]$T;N?+3|￾ I C cosz z(z 2 − a 2) dz = I C1 cosz z(z 2 − a 2) dz + I C2 cosz z(z 2 − a 2) dz + I C3 cosz z(z 2 − a 2) dz = 2πi  cosz z 2 − a 2      z=0 + 2πi  cosz z(z − a)      z=−a + 2πi  cosz z(z + a)      z=a = 2π(cosa − 1)i a 2 . (4 +) 2. o9
f(z) = sin2z z(z + 1)2 ,Q,jcf!4Um"![

B z = 0 ~ f(z) !Osm"￾ z = −1 ~ f(z) ! 2 C@"￾ z = ∞ ~ f(z) ! m" (1 +).  Res[f(z), 0] = 0; (2 +) Res[f(z), −1] = 1 1! lim z→−1 d dz  (z + 1)2 · sin2z z(z + 1)2  = lim z→−1 d dz  sin2z z  = −2cos2 + sin2. (2 +) 2J f(z) ,&14Um"![
!;; Z￾ Res[f(z),∞] = −Res[f(z), 0] − Res[f(z), −1] = 2cos2 − sin2. (2 +)