得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） .用极限定义证明， m朵=多 证明：>0，要使不等 3n |6n-6m-3 3 2n+1-2 成立.解该不等式得到n>是.取N=[],则 e>0,3N [咖>有引< 即m部= 2.用极限定义证明：1im本=0. 证明：限定x>0.e>0,要使不等式 +3小-3<e 1 成立.解该不等式得到x>-3.取X=max{0,是-3，则 e>03x=mr{-3}>az>x有3-d<6 即im本=0. 3.用板限定义证明：四3x+1)=7. 证明：e>0,要使不等式 3a+1-71=l3x-6=3(x-2l=3z-21<e 成立.解该不等式得到z-2<,取6=>0，则 e>0,35=号>0，r:2<r<2+6有13x+1)-7<6 即im(3x+1)=7. 数学分析四试题第6页（共8页） ✚➞ ➭ò❁ ♥✦②➨❑ (✢➀❑✁ 5 ✂❑➜③❑ 6 ➞➜✁ 30 ➞ ) 1. ❫✹⑩➼➶②➨: limn→∞ 3n 2n+1 = 3 2 . ②➨: ∀ > 0, ❻➛Ø✤➟     3n 2n + 1 − 3 2     =     6n − 6n − 3 2(2n + 1)     = 3 2(2n + 1) ≤ 3 4n <  ↕á. ✮❚Ø✤➟✚✔ n > 3 4 . ✒ N = 3 4 , ❑ ∀ > 0, ∃N =  3 4  , ∀n > N,❦     3n 2n + 1 − 3 2     < , ❂ limn→∞ 3n 2n+1 = 3 2 . 2. ❫✹⑩➼➶②➨: lim x→+∞ 1 x+3 = 0. ②➨: ⑩➼ x > 0. ∀ > 0, ❻➛Ø✤➟     1 x + 3 − 0     =     1 x + 3     = 1 x + 3 <  ↕á. ✮❚Ø✤➟✚✔ x > 1  − 3. ✒ X = max{0, 1  − 3}, ❑ ∀ > 0, ∃X = max  0, 1  − 3  > 0, ∀x > X, ❦     1 x + 3 − 0     < , ❂ lim x→+∞ 1 x+3 = 0. 3. ❫✹⑩➼➶②➨: limx→2+ (3x + 1) = 7. ②➨: ∀ > 0, ❻➛Ø✤➟ |3x + 1 − 7| = |3x − 6| = |3(x − 2)| = 3|x − 2| <  ↕á. ✮❚Ø✤➟✚✔ |x − 2| <  3 . ✒ δ =  3 > 0, ❑ ∀ > 0, ∃δ =  3 > 0, ∀x : 2 < x < 2 + δ, ❦ |(3x + 1) − 7| < , ❂ limx→2+ (3x + 1) = 7. ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 6 ➄↔✁ 8 ➄↕