4.用定义证明：函数f(x)=x2在（-1,1)一致连续 证明：e>0,x1,2∈(-1.1)，要使不等式 lr号-x=l(-x2(1+x2训≤(0l+2l0lm1-l≤21-x2l<e 成立.解该不等式得到1-2<取6=>0，则 e>0,36=5>0,m,∈(-1,1)：-<6有-<6 即f(x)=x2在(-1,1)一致连续. 5.证明：对z,y∈R有|sinx-sin≤x- 证明：任取x,y∈R,x≠y,则siz在E,(或，x)连续，在(z,)(或(y,x) 可导，所以由Lagrange中值定理和|cos≤1知道存在∈(x,)(或(，x))使 装 ==血二sy→ir-siy=(oslr-)→sin-i≤k-l 订 T-4 线 林林林 若x=y,自然有|sinx-sin=0=z-.综上 |sinx-sin≤lz-l,x,y∈R 内 答 题 无 效 数学分析四试题第7页（共8页）❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 4. ❫➼➶②➨: ➻ê f(x) = x 2 ✸ (−1, 1) ➌➋ë❨. ②➨: ∀ > 0, ∀x1, x2 ∈ (−1, 1), ❻➛Ø✤➟ |x 2 1 − x 2 2 | = |(x1 − x2)(x1 + x2)| ≤ (|x1| + |x2|)|x1 − x2| ≤ 2|x1 − x2| <  ↕á. ✮❚Ø✤➟✚✔ |x1 − x2| <  2 . ✒ δ =  2 > 0, ❑ ∀ > 0, ∃δ =  2 > 0, ∀x1, x2 ∈ (−1, 1) : |x1 − x2| < δ, ❦ |x 2 1 − x 2 2 | < , ❂ f(x) = x 2 ✸ (−1, 1) ➌➋ë❨. 5. ②➨: é ∀x, y ∈ R ❦ |sin x − sin y| ≤ |x − y|. ②➨: ❄✒ x, y ∈ R, x 6= y, ❑ sin z ✸ [x, y] (➼[y, x]) ë❨, ✸ (x, y) (➼(y, x)) ➀✓, ↕➧❞ Lagrange ➙❾➼♥Ú | cos z| ≤ 1 ⑧✗⑧✸ ξ ∈ (x, y) (➼ (y, x) )➛ ✚ (sin z) 0 |z=ξ = sin x − sin y x − y ⇒ sin x−sin y = (cos ξ)(x−y) ⇒ |sin x−sin y| ≤ |x−y|. ❡ x = y, ❣✱❦ |sin x − sin y| = 0 = |x − y|. ♥þ |sin x − sin y| ≤ |x − y|, ∀x, y ∈ R. ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 7 ➄↔✁ 8 ➄↕