.1438 北京科技大学学报 第35卷 析，建立夹杂物运动控制方程时，大多只考虑常见 要受力之一，其计算公式为 的作用力如Stokes力、重力和浮力，而常忽略附加 质量力、压力梯度力、Basset力等一些不常见或者 3 Po Vn-ol(Va-g).(四 Fn=Cn×4ppd 较难求解的力.这些被忽略的力是否对夹杂物运动 式中：Pm和Pp分别表示钢液和夹杂物颗粒的密 造成影响尚存争议5-刀，同时高温条件下细小夹杂 度，kgm-3:d。表示夹杂物颗粒的直径，um.Vm和 物颗粒由于布朗运动所受Brown力会对夹杂物的 V。分别表示Lagrange坐标下钢液流体和夹杂物颗 行为造成较大的影响8-，值得研究和探讨. 粒的瞬时速度矢量，ms1:CD为曳力系数，其取 为了更加全面精确地描述钢中夹杂物颗粒在 值是雷诺数的函数【10 不同钢液流场下的运动行为，本文较为系统地讨 1.1.2重力与浮力 论了在任意流场条件下夹杂物颗粒可能受到的作用 在竖直方向，夹杂物颗粒受到重力和钢液对其 力，建立了球状夹杂物颗粒运动控制方程，并针对 浮力的共同作用，其合力的矢量表达式为 该方程设计了适宜的数值计算方法.运用该方法计 算了不同流场条件和夹杂物颗粒尺寸下颗粒的受力 Fc= (2) 情况，得出主导作用力和可以忽略的作用力，为以 后进一步数值模拟研究不同条件下钢液中夹杂物的 式中：g为夹杂物颗粒所受重力加速度矢量，ms-2. 运动行为提供理论指导 本文中将重力和浮力的合力统称为质量力 1.1.3压力梯度力 1研究方法 夹杂物颗粒在有压力梯度的流场中运动时，还 1.1钢液中夹杂物颗粒的受力 要受到压力梯度力的作用，其矢量表达式为 在任意流场条件下，钢液中球形夹杂物受力情 Fp=em.dvin (3) 况如图1所示. Pp dt 介重力与浮力的合力 1.1.4虚拟质量力 附加质量力 当夹杂物颗粒相对钢液流体作加速运动时，也 压力梯度力 要带动或推动颗粒周围一部分钢液作相同加速度的 非恒定运动，而这部分夹杂物颗粒球面周围的被加 Saffman力 夹杂物 Magnus力 速钢液流体体积恰好等于夹杂物颗粒体积的一半， 则虚拟质量力可表示为同 Brown力 Stokes力 Fy =Cn.pm d(Vm-Vpl. (4) dt Basset力 式中，Cm表示虚拟质量力系数 图1任意钢液流场条件下球形夹杂物颗粒的受力类型 1.1.5 Basset力 Fig.1 Force condition of a spherical inclusion particle in ran- 当颗粒在黏性流体中作直线变速运动时，颗粒 dom liquid steel flow 表面附面层的不稳定使颗粒受一个随时间变化的流 由上图可以看出任意流场条件下夹杂物颗粒 体作用力，且作用力状态与颗粒的加速历程有关， 所受作用力可以分为四类：(1)与流体和颗粒间的 Basset力的大小可以表示为夹杂物颗粒相对钢液 相对运动无关的力，包括压力梯度力、重力及浮 作非恒速运动时所受到的附加黏性作用力的时间积 力：(2)依赖于流体和颗粒间的相对运动且作用力方 分，并且与颗粒在任意时刻t之前的运动历史有关. 向与相对运动速度方向相反的力，包括Stokes力、 Basset力的表达式为同 虚拟质量力和Basset力：(3)依赖于流体和颗粒间 9 的相对运动，但作用力方向与相对运动速度方向垂 FB=CB· Pm'feff d(vi-v)/ddr. pp·dpV Jo Vi-T 直的力，如Saffman力和Magnus力：(4在钢液的 (5) 高温条件下微米级夹杂物的布朗运动不容忽视，即 式中：CB表示Basset系数：ef为钢液的有效动力 还要受到Brown力的影响.下面将具体介绍各个力 黏度，Pas1:T为计算时间步长，s. 在数值计算中的表达式 1.1.6夹杂物颗粒旋转时的Magnus力 1.1.1 Stokes黏性阻力 钢液的横向速度使夹杂物颗粒两边的相对速 Stokes黏性阻力是夹杂物颗粒在运动过程中主 度不同，可引起颗粒旋转.在低雷诺数时，旋转将· 1438 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 析，建立夹杂物运动控制方程时，大多只考虑常见 的作用力如 Stokes 力、重力和浮力，而常忽略附加 质量力、压力梯度力、Basset 力等一些不常见或者 较难求解的力. 这些被忽略的力是否对夹杂物运动 造成影响尚存争议 [5−7]，同时高温条件下细小夹杂 物颗粒由于布朗运动所受 Brown 力会对夹杂物的 行为造成较大的影响 [8−9]，值得研究和探讨. 为了更加全面精确地描述钢中夹杂物颗粒在 不同钢液流场下的运动行为，本文较为系统地讨 论了在任意流场条件下夹杂物颗粒可能受到的作用 力，建立了球状夹杂物颗粒运动控制方程，并针对 该方程设计了适宜的数值计算方法. 运用该方法计 算了不同流场条件和夹杂物颗粒尺寸下颗粒的受力 情况，得出主导作用力和可以忽略的作用力，为以 后进一步数值模拟研究不同条件下钢液中夹杂物的 运动行为提供理论指导. 1 研究方法 1.1 钢液中夹杂物颗粒的受力 在任意流场条件下，钢液中球形夹杂物受力情 况如图 1 所示. 图 1 任意钢液流场条件下球形夹杂物颗粒的受力类型 Fig.1 Force condition of a spherical inclusion particle in ran￾dom liquid steel flow 由上图可以看出任意流场条件下夹杂物颗粒 所受作用力可以分为四类：(1) 与流体和颗粒间的 相对运动无关的力，包括压力梯度力、重力及浮 力；(2) 依赖于流体和颗粒间的相对运动且作用力方 向与相对运动速度方向相反的力，包括 Stokes 力、 虚拟质量力和 Basset 力；(3) 依赖于流体和颗粒间 的相对运动，但作用力方向与相对运动速度方向垂 直的力，如 Saffman 力和 Magnus 力；(4) 在钢液的 高温条件下微米级夹杂物的布朗运动不容忽视，即 还要受到 Brown 力的影响. 下面将具体介绍各个力 在数值计算中的表达式. 1.1.1 Stokes 黏性阻力 Stokes 黏性阻力是夹杂物颗粒在运动过程中主 要受力之一，其计算公式为 FD = CD × 3ρm 4ρpdp |Vm − Vp|(Vm − Vp). (1) 式中：ρm 和 ρp 分别表示钢液和夹杂物颗粒的密 度，kg·m−3；dp 表示夹杂物颗粒的直径，µm. Vm 和 Vp 分别表示 Lagrange 坐标下钢液流体和夹杂物颗 粒的瞬时速度矢量，m·s −1；CD 为曳力系数，其取 值是雷诺数的函数 [10] . 1.1.2 重力与浮力 在竖直方向，夹杂物颗粒受到重力和钢液对其 浮力的共同作用，其合力的矢量表达式为 FG = µ 1 − ρm ρp ¶ · g. (2) 式中：g 为夹杂物颗粒所受重力加速度矢量，m·s −2 . 本文中将重力和浮力的合力统称为质量力. 1.1.3 压力梯度力 夹杂物颗粒在有压力梯度的流场中运动时，还 要受到压力梯度力的作用，其矢量表达式为 [11] Fp = ρm ρp · dVm dt . (3) 1.1.4 虚拟质量力 当夹杂物颗粒相对钢液流体作加速运动时，也 要带动或推动颗粒周围一部分钢液作相同加速度的 非恒定运动，而这部分夹杂物颗粒球面周围的被加 速钢液流体体积恰好等于夹杂物颗粒体积的一半， 则虚拟质量力可表示为 [6] FV = Cm · ρm 2ρp · d(Vm − Vp) dt . (4) 式中，Cm 表示虚拟质量力系数. 1.1.5 Basset 力 当颗粒在黏性流体中作直线变速运动时，颗粒 表面附面层的不稳定使颗粒受一个随时间变化的流 体作用力，且作用力状态与颗粒的加速历程有关. Basset 力的大小可以表示为夹杂物颗粒相对钢液 作非恒速运动时所受到的附加黏性作用力的时间积 分，并且与颗粒在任意时刻 t 之前的运动历史有关. Basset 力的表达式为 [6] FB = CB · 9 ρp · dp r ρm · µeff π Z t 0 d(Vm − Vp)/dτ √ t − τ dτ. (5) 式中：CB 表示 Basset 系数；µeff 为钢液的有效动力 黏度，Pa·s −1；τ 为计算时间步长，s. 1.1.6 夹杂物颗粒旋转时的 Magnus 力 钢液的横向速度使夹杂物颗粒两边的相对速 度不同，可引起颗粒旋转. 在低雷诺数时，旋转将