钢液中球状夹杂物颗粒受力情况的数值模拟

D0L:10.13374.issn1001-053x2013.11.017 第35卷第11期 北京科技大学学报 Vol.35 No.11 2013年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nov.2013 钢液中球状夹杂物颗粒受力情况的数值模拟 王耀1,2)，李宏1,2)凶，郭洛方1,2) 1)北京科技大学钢铁冶金新技术国家重点实验室，北京100083 2)北京科技大学治金与生态工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:lihong@metall.ustb.edu.cn 摘要通过理论分析和数值模拟的方法，研究了1873K钢液中球状夹杂物颗粒运动过程中的受力情况.静止钢液和 湍流场中，夹杂物颗粒所受的压力梯度力、虚拟质量力、Saffman力及Magnus力较小，可以忽略不计.静止钢液和均匀 湍流场中，随着夹杂物颗粒尺寸的变大，颗粒所受Brown力逐渐衰减，当夹杂物颗粒直径大于20m时颗粒所受Brown 力基本不会对其运动造成影响，可以忽略不计.小于10的夹杂物颗粒布朗运动较为剧烈，单位质量夹杂物颗粒所受 Basset力和Brown力较大，成为主导夹杂物颗粒运动的主要作用力：尺寸较大的夹杂物颗粒（直径D>50um),Basset 力、质量力和Stokes力共同作用影响夹杂物颗粒的运动、碰撞和去除 关键词炼钢：夹杂物：受力分析：运动方程：数值方法 分类号TF703.5+4 Numerical simulation of the force condition of spherical inclusion particles in liquid steel WANG Yao2,2,LI Hong,2)☒，GU0Luo-fang,2) 1)State Key Laboratory of Advanced Metallurgy,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Metallurgical and Ecological Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:lihong@metall.ustb.edu.cn ABSTRACT The force condition of spherical inclusion particles in 1873 K liquid steel was investigated by theoretical analysis and numeric simulation.It is found that the pressure gradient force,virtual mass force,Saffman force and Magnus force are little and can be ignored in static steel and turbulent flow fields.With increasing inclusion particle size,the Brown force imposed on the particles with a bigger size gradually decreases in static liquid steel and homogeneous turbulence fields.When the particle size is bigger than 20 um,the Brown force will have no influence on particle movement and can be ignored.The Brown motion of the particles with the size smaller than 10 um is very violent, the Basset force and Brown force imposed on the particles per unit mass become the main force determining particle movement.As for the big-size particles(D>50 um),the Basset force,mass force and Stokes force work together to influence the movement,collision and removal of the particles. KEY WORDS steelmaking;inclusions;force analysis;equations of motion;numerical methods 作为高温钢液中以第二相存在的非金属夹杂 研究-4，这些研究主要是将具体条件下的钢液流 物颗粒，颗粒的受力分析是研究夹杂物运动规律的 场和球状夹杂物颗粒运动控制方程耦合起来求解夹 基础.近年来众多冶金学者使用Lagrange模型对 杂物的运动轨迹，进而研究钢液中夹杂物的聚合去 钢液中球状夹杂物颗粒运动行为进行了大量的模拟 除等过程.然而上述研究在进行夹杂物颗粒受力分 收稿日期：2012-09-18 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61074020)

第 35 卷 第 11 期 北 京 科 技 大 学 学 报 Vol. 35 No. 11 2013 年 11 月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nov. 2013 钢液中球状夹杂物颗粒受力情况的数值模拟 王 耀1,2)，李 宏1,2) ，郭洛方1,2) 1) 北京科技大学钢铁冶金新技术国家重点实验室，北京 100083 2) 北京科技大学冶金与生态工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: lihong@metall.ustb.edu.cn 摘 要 通过理论分析和数值模拟的方法，研究了 1873 K 钢液中球状夹杂物颗粒运动过程中的受力情况. 静止钢液和 湍流场中，夹杂物颗粒所受的压力梯度力、虚拟质量力、Saffman 力及 Magnus 力较小，可以忽略不计. 静止钢液和均匀 湍流场中，随着夹杂物颗粒尺寸的变大，颗粒所受 Brown 力逐渐衰减，当夹杂物颗粒直径大于 20 µm 时颗粒所受 Brown 力基本不会对其运动造成影响，可以忽略不计. 小于 10 µm 的夹杂物颗粒布朗运动较为剧烈，单位质量夹杂物颗粒所受 Basset 力和 Brown 力较大，成为主导夹杂物颗粒运动的主要作用力；尺寸较大的夹杂物颗粒 (直径 D>50 µm)，Basset 力、质量力和 Stokes 力共同作用影响夹杂物颗粒的运动、碰撞和去除. 关键词 炼钢；夹杂物；受力分析；运动方程；数值方法 分类号 TF703.5+4 Numerical simulation of the force condition of spherical inclusion particles in liquid steel WANG Yao1,2), LI Hong1,2) , GUO Luo-fang1,2) 1) State Key Laboratory of Advanced Metallurgy, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) School of Metallurgical and Ecological Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China Corresponding author, E-mail: lihong@metall.ustb.edu.cn ABSTRACT The force condition of spherical inclusion particles in 1873 K liquid steel was investigated by theoretical analysis and numeric simulation. It is found that the pressure gradient force, virtual mass force, Saffman force and Magnus force are little and can be ignored in static steel and turbulent flow fields. With increasing inclusion particle size, the Brown force imposed on the particles with a bigger size gradually decreases in static liquid steel and homogeneous turbulence fields. When the particle size is bigger than 20 µm, the Brown force will have no influence on particle movement and can be ignored. The Brown motion of the particles with the size smaller than 10 µm is very violent, the Basset force and Brown force imposed on the particles per unit mass become the main force determining particle movement. As for the big-size particles (D>50 µm), the Basset force, mass force and Stokes force work together to influence the movement, collision and removal of the particles. KEY WORDS steelmaking; inclusions; force analysis; equations of motion; numerical methods 作为高温钢液中以第二相存在的非金属夹杂 物颗粒，颗粒的受力分析是研究夹杂物运动规律的 基础. 近年来众多冶金学者使用 Lagrange 模型对 钢液中球状夹杂物颗粒运动行为进行了大量的模拟 研究 [1−4]，这些研究主要是将具体条件下的钢液流 场和球状夹杂物颗粒运动控制方程耦合起来求解夹 杂物的运动轨迹，进而研究钢液中夹杂物的聚合去 除等过程. 然而上述研究在进行夹杂物颗粒受力分 收稿日期：2012-09-18 基金项目：国家自然科学基金资助项目 (51074020) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2013.11.017

.1438 北京科技大学学报 第35卷 析，建立夹杂物运动控制方程时，大多只考虑常见 要受力之一，其计算公式为 的作用力如Stokes力、重力和浮力，而常忽略附加 质量力、压力梯度力、Basset力等一些不常见或者 3 Po Vn-ol(Va-g).(四 Fn=Cn×4ppd 较难求解的力.这些被忽略的力是否对夹杂物运动 式中：Pm和Pp分别表示钢液和夹杂物颗粒的密 造成影响尚存争议5-刀，同时高温条件下细小夹杂 度，kgm-3:d。表示夹杂物颗粒的直径，um.Vm和 物颗粒由于布朗运动所受Brown力会对夹杂物的 V。分别表示Lagrange坐标下钢液流体和夹杂物颗 行为造成较大的影响8-，值得研究和探讨. 粒的瞬时速度矢量，ms1:CD为曳力系数，其取 为了更加全面精确地描述钢中夹杂物颗粒在 值是雷诺数的函数【10 不同钢液流场下的运动行为，本文较为系统地讨 1.1.2重力与浮力 论了在任意流场条件下夹杂物颗粒可能受到的作用 在竖直方向，夹杂物颗粒受到重力和钢液对其 力，建立了球状夹杂物颗粒运动控制方程，并针对 浮力的共同作用，其合力的矢量表达式为 该方程设计了适宜的数值计算方法.运用该方法计 算了不同流场条件和夹杂物颗粒尺寸下颗粒的受力 Fc= (2) 情况，得出主导作用力和可以忽略的作用力，为以 后进一步数值模拟研究不同条件下钢液中夹杂物的 式中：g为夹杂物颗粒所受重力加速度矢量，ms-2. 运动行为提供理论指导 本文中将重力和浮力的合力统称为质量力 1.1.3压力梯度力 1研究方法 夹杂物颗粒在有压力梯度的流场中运动时，还 1.1钢液中夹杂物颗粒的受力 要受到压力梯度力的作用，其矢量表达式为 在任意流场条件下，钢液中球形夹杂物受力情 Fp=em.dvin (3) 况如图1所示. Pp dt 介重力与浮力的合力 1.1.4虚拟质量力 附加质量力 当夹杂物颗粒相对钢液流体作加速运动时，也 压力梯度力 要带动或推动颗粒周围一部分钢液作相同加速度的 非恒定运动，而这部分夹杂物颗粒球面周围的被加 Saffman力 夹杂物 Magnus力 速钢液流体体积恰好等于夹杂物颗粒体积的一半， 则虚拟质量力可表示为同 Brown力 Stokes力 Fy =Cn.pm d(Vm-Vpl. (4) dt Basset力 式中，Cm表示虚拟质量力系数 图1任意钢液流场条件下球形夹杂物颗粒的受力类型 1.1.5 Basset力 Fig.1 Force condition of a spherical inclusion particle in ran- 当颗粒在黏性流体中作直线变速运动时，颗粒 dom liquid steel flow 表面附面层的不稳定使颗粒受一个随时间变化的流 由上图可以看出任意流场条件下夹杂物颗粒 体作用力，且作用力状态与颗粒的加速历程有关， 所受作用力可以分为四类：(1)与流体和颗粒间的 Basset力的大小可以表示为夹杂物颗粒相对钢液 相对运动无关的力，包括压力梯度力、重力及浮 作非恒速运动时所受到的附加黏性作用力的时间积 力：(2)依赖于流体和颗粒间的相对运动且作用力方 分，并且与颗粒在任意时刻t之前的运动历史有关. 向与相对运动速度方向相反的力，包括Stokes力、 Basset力的表达式为同 虚拟质量力和Basset力：(3)依赖于流体和颗粒间 9 的相对运动，但作用力方向与相对运动速度方向垂 FB=CB· Pm'feff d(vi-v)/ddr. pp·dpV Jo Vi-T 直的力，如Saffman力和Magnus力：(4在钢液的 (5) 高温条件下微米级夹杂物的布朗运动不容忽视，即 式中：CB表示Basset系数：ef为钢液的有效动力 还要受到Brown力的影响.下面将具体介绍各个力 黏度，Pas1:T为计算时间步长，s. 在数值计算中的表达式 1.1.6夹杂物颗粒旋转时的Magnus力 1.1.1 Stokes黏性阻力 钢液的横向速度使夹杂物颗粒两边的相对速 Stokes黏性阻力是夹杂物颗粒在运动过程中主 度不同，可引起颗粒旋转.在低雷诺数时，旋转将

· 1438 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 析，建立夹杂物运动控制方程时，大多只考虑常见 的作用力如 Stokes 力、重力和浮力，而常忽略附加 质量力、压力梯度力、Basset 力等一些不常见或者 较难求解的力. 这些被忽略的力是否对夹杂物运动 造成影响尚存争议 [5−7]，同时高温条件下细小夹杂 物颗粒由于布朗运动所受 Brown 力会对夹杂物的 行为造成较大的影响 [8−9]，值得研究和探讨. 为了更加全面精确地描述钢中夹杂物颗粒在 不同钢液流场下的运动行为，本文较为系统地讨 论了在任意流场条件下夹杂物颗粒可能受到的作用 力，建立了球状夹杂物颗粒运动控制方程，并针对 该方程设计了适宜的数值计算方法. 运用该方法计 算了不同流场条件和夹杂物颗粒尺寸下颗粒的受力 情况，得出主导作用力和可以忽略的作用力，为以 后进一步数值模拟研究不同条件下钢液中夹杂物的 运动行为提供理论指导. 1 研究方法 1.1 钢液中夹杂物颗粒的受力 在任意流场条件下，钢液中球形夹杂物受力情 况如图 1 所示. 图 1 任意钢液流场条件下球形夹杂物颗粒的受力类型 Fig.1 Force condition of a spherical inclusion particle in ran￾dom liquid steel flow 由上图可以看出任意流场条件下夹杂物颗粒 所受作用力可以分为四类：(1) 与流体和颗粒间的 相对运动无关的力，包括压力梯度力、重力及浮 力；(2) 依赖于流体和颗粒间的相对运动且作用力方 向与相对运动速度方向相反的力，包括 Stokes 力、 虚拟质量力和 Basset 力；(3) 依赖于流体和颗粒间 的相对运动，但作用力方向与相对运动速度方向垂 直的力，如 Saffman 力和 Magnus 力；(4) 在钢液的 高温条件下微米级夹杂物的布朗运动不容忽视，即 还要受到 Brown 力的影响. 下面将具体介绍各个力 在数值计算中的表达式. 1.1.1 Stokes 黏性阻力 Stokes 黏性阻力是夹杂物颗粒在运动过程中主 要受力之一，其计算公式为 FD = CD × 3ρm 4ρpdp |Vm − Vp|(Vm − Vp). (1) 式中：ρm 和 ρp 分别表示钢液和夹杂物颗粒的密 度，kg·m−3；dp 表示夹杂物颗粒的直径，µm. Vm 和 Vp 分别表示 Lagrange 坐标下钢液流体和夹杂物颗 粒的瞬时速度矢量，m·s −1；CD 为曳力系数，其取 值是雷诺数的函数 [10] . 1.1.2 重力与浮力 在竖直方向，夹杂物颗粒受到重力和钢液对其 浮力的共同作用，其合力的矢量表达式为 FG = µ 1 − ρm ρp ¶ · g. (2) 式中：g 为夹杂物颗粒所受重力加速度矢量，m·s −2 . 本文中将重力和浮力的合力统称为质量力. 1.1.3 压力梯度力 夹杂物颗粒在有压力梯度的流场中运动时，还 要受到压力梯度力的作用，其矢量表达式为 [11] Fp = ρm ρp · dVm dt . (3) 1.1.4 虚拟质量力 当夹杂物颗粒相对钢液流体作加速运动时，也 要带动或推动颗粒周围一部分钢液作相同加速度的 非恒定运动，而这部分夹杂物颗粒球面周围的被加 速钢液流体体积恰好等于夹杂物颗粒体积的一半， 则虚拟质量力可表示为 [6] FV = Cm · ρm 2ρp · d(Vm − Vp) dt . (4) 式中，Cm 表示虚拟质量力系数. 1.1.5 Basset 力 当颗粒在黏性流体中作直线变速运动时，颗粒 表面附面层的不稳定使颗粒受一个随时间变化的流 体作用力，且作用力状态与颗粒的加速历程有关. Basset 力的大小可以表示为夹杂物颗粒相对钢液 作非恒速运动时所受到的附加黏性作用力的时间积 分，并且与颗粒在任意时刻 t 之前的运动历史有关. Basset 力的表达式为 [6] FB = CB · 9 ρp · dp r ρm · µeff π Z t 0 d(Vm − Vp)/dτ √ t − τ dτ. (5) 式中：CB 表示 Basset 系数；µeff 为钢液的有效动力 黏度，Pa·s −1；τ 为计算时间步长，s. 1.1.6 夹杂物颗粒旋转时的 Magnus 力 钢液的横向速度使夹杂物颗粒两边的相对速 度不同，可引起颗粒旋转. 在低雷诺数时，旋转将

第11期 王耀等：钢液中球状夹杂物颗粒受力情况的数值模拟 ,1439· 带动流体流动，使颗粒相对速度较高的一边流体速 1.3夹杂物运动方程的数值求解 度增加，压强减小：而另一边的流体速度减小，压 由式(9)可以看出，夹杂物颗粒的运动控制 强增加.结果使颗粒向流体速度较高的一边流动， 方程为一非线性微分积分方程.Basset力中积分 这种现象称为Magnus效应.Magnus力的计算公式 项为一奇异积分并且被积函数含有未知待求函数 为2 dV/t,极难获得解析解，因此考虑数值解法.依 FM=CM· 3emIVn -Vpl (Vm-Vp). (6) 据上述特点对运动方程中Basset力的积分项通过 Appdp 复合梯形求积公式进行适当变换建立了如下的数值 式中：CLM为Magnus力系数，一般情况下其值可 计算格式4： 以取为1.0间 n-2 1.1.7 Saffman力 +2 g(ih) g(t-h) 夹杂物颗粒在有速度梯度的钢液流场中运动 h 时，因表面各处的速度不一样，故表面各点的压 +g(t)+g(t-hlv万 (10) 力不一样.这样颗粒将受到一个升力的作用，称为 Saffman力.其计算公式为3) 式中：g(r)=d(Vm-V)/dr,t为积分时间上 Fis=Cs· 6KsHeft Pm .(Vm-V).(7) 限，h=△t=t/n为积分时间步长.式(10)格式 Ppadp 的代数精度为二阶精度O(△t2)同，当△t趋于0时 式中：ξ表示垂直某一坐标方向上的钢液流体速度 数值解收敛于精确解.数值差分格式(10)可以解 在此方向上的梯度；K表示Saffman力系数，取 决Basset力积分项的奇异性，对于未知待求函数 1.615:Cs为Saffman力修正系数. dVp/t可以将式(9)和(10)联立起来，使用四级四 1.1.8 Brown力 阶Runge-Kutta法进行初值迭代，对夹杂物颗粒运 在钢液高温条件下，微米级及以下尺寸的夹 动速度V进行求解.由数值分析理论可得，只要 杂物颗粒的布朗运动不容忽视.布朗运动的夹杂物 选定适当的时间步长，就可以保证上述数值计算格 颗粒所受Brown力常被模拟成高斯-白噪音过 式的收敛性和精度 程，Brown力在数值模拟过程中的计算公式为倒 2结果和讨论 126 FR= 3μes kBT 使用上述夹杂物颗粒运动控制方程和数值差 (8) Pp rd△t 分格式，分别对静止钢液和均匀湍流场中不同尺 式中：如为波尔兹曼常数，取1.38×10-23JK-1:T 寸的夹杂物的运动速度V进行数值计算.由于静 为钢液的热力学温度，K;△t是数值模拟时设定的 止钢液和均匀湍流场中速度梯度不大，可以忽略 时间步长，5：6是服从标准正态分布的随机变量的 Saffman力和Magnus力，只考虑其余作用力对 矢量形式. 颗粒运动的影响.数值计算时对式（⑨）进行修改去 1.2夹杂物颗粒的运动方程 除Saffman力和Magnus力项. 依据上述夹杂物颗粒的受力分析以及牛顿第 2.1静止钢液中夹杂物颗粒的运动规律 二定律，可以建立Lagrange模型下颗粒在任意流 在三维无界静止流场中，数值计算时使用的夹 场中的运动方程： 杂物颗粒和钢液的物性参数如表1所示.时间步长 △t=10-6s,数值计算的代数精度为O(△t2),当△t 业-（-) .3emV-Vol(V-Vp)+ g+CD'ppdp 趋于0时颗粒运动速度V的数值解收敛于精确解. 表1夹杂物颗粒和钢液的物性参数 2m dVm Camdm)+CB: Pm·leff Table 1 Physical parameters of inclusion particles and liquid Pp dt dt steel d(V-Vp)/dd+CpVVol(Va-Vp) 类型 符号 数值 夹杂物颗粒密度 Vt-T 4ppdp Pp/(kg-m-3) 3600 夹杂物颗粒半径 Dp/um 10 1/2 夹杂物初始速度 Vp/(m.s-1) 0 6Ksμef 126 (Vm-p)+ 3μefkBT +CLs 钢液密度 pm/(kg-m-3) 7000 πppdp Pp rd8△t 钢液黏度 μm/Nsm-2) 0.005 (9) 钢液温度 T/K 1873

第 11 期 王 耀等：钢液中球状夹杂物颗粒受力情况的数值模拟 1439 ·· 带动流体流动，使颗粒相对速度较高的一边流体速 度增加，压强减小；而另一边的流体速度减小，压 强增加. 结果使颗粒向流体速度较高的一边流动， 这种现象称为 Magnus 效应. Magnus 力的计算公式 为 [12] FLM = CLM · 3ρm 4ρpdp |Vm − Vp|(Vm − Vp). (6) 式中：CLM 为 Magnus 力系数，一般情况下其值可 以取为 1.0[9] . 1.1.7 Saffman 力 夹杂物颗粒在有速度梯度的钢液流场中运动 时，因表面各处的速度不一样，故表面各点的压 力不一样. 这样颗粒将受到一个升力的作用，称为 Saffman 力. 其计算公式为 [13] FLS = CLS · 6Ksµeff ρpπdp µ ρmξ µeff ¶1 2 · (Vm − Vp). (7) 式中：ξ 表示垂直某一坐标方向上的钢液流体速度 在此方向上的梯度；Ks 表示 Saffman 力系数，取 1.615；CLS 为 Saffman 力修正系数. 1.1.8 Brown 力 在钢液高温条件下，微米级及以下尺寸的夹 杂物颗粒的布朗运动不容忽视. 布朗运动的夹杂物 颗粒所受 Brown 力常被模拟成高斯 - 白噪音过 程，Brown 力在数值模拟过程中的计算公式为 [9] FR = 12δ ρp s 3µeffkBT πd 5 p∆t . (8) 式中：kB 为波尔兹曼常数，取 1.38×10−23 J·K−1；T 为钢液的热力学温度，K；∆t 是数值模拟时设定的 时间步长，s；δ 是服从标准正态分布的随机变量的 矢量形式. 1.2 夹杂物颗粒的运动方程 依据上述夹杂物颗粒的受力分析以及牛顿第 二定律，可以建立 Lagrange 模型下颗粒在任意流 场中的运动方程： dVp dt = µ 1 − ρm ρp ¶ ·g+CD· 3ρm 4ρpdp |Vm − Vp|(Vm−Vp)+ ρm ρp · dVm dt +Cm· ρm 2ρp · d(Vm − Vp) dt +CB· 9 ρpdp r ρm · µeff π · Z t 0 d(Vm − Vp)/dτ √ t − τ dτ+CLM· 3ρm 4ρpdp |Vm − Vp|(Vm−Vp) +CLS· 6KSµeff πρpdp µ ρmξ µeff ¶1/2 (Vm−Vp)+12δ ρp s 3µeffkBT πd 5 p∆t . (9) 1.3 夹杂物运动方程的数值求解 由式 (9) 可以看出，夹杂物颗粒的运动控制 方程为一非线性微分积分方程. Basset 力中积分 项为一奇异积分并且被积函数含有未知待求函数 dVp/dt，极难获得解析解，因此考虑数值解法. 依 据上述特点对运动方程中 Basset 力的积分项通过 复合梯形求积公式进行适当变换建立了如下的数值 计算格式 [14]： FB = 1 2 " g(0) √ t + 2 nX−2 i=1 g (ih) √ t − ih + g(t − h) √ h # + [g(t) + g(t − h)] √ h. (10) 式中：g(τ ) = d(Vm − Vp)/dτ，t 为积分时间上 限，h = ∆t = t/n 为积分时间步长. 式 (10) 格式 的代数精度为二阶精度 O(∆t 2 ) [15]，当 ∆t 趋于 0 时 数值解收敛于精确解. 数值差分格式 (10) 可以解 决 Basset 力积分项的奇异性，对于未知待求函数 dVp/dt 可以将式 (9) 和 (10) 联立起来，使用四级四 阶 Runge-Kutta 法进行初值迭代，对夹杂物颗粒运 动速度 Vp 进行求解. 由数值分析理论可得，只要 选定适当的时间步长，就可以保证上述数值计算格 式的收敛性和精度 [15] . 2 结果和讨论 使用上述夹杂物颗粒运动控制方程和数值差 分格式，分别对静止钢液和均匀湍流场中不同尺 寸的夹杂物的运动速度 Vp 进行数值计算. 由于静 止钢液和均匀湍流场中速度梯度不大，可以忽略 Saffman 力和 Magnus 力 [11]，只考虑其余作用力对 颗粒运动的影响. 数值计算时对式 (9) 进行修改去 除 Saffman 力和 Magnus 力项. 2.1 静止钢液中夹杂物颗粒的运动规律 在三维无界静止流场中，数值计算时使用的夹 杂物颗粒和钢液的物性参数如表 1 所示. 时间步长 ∆t=10−6 s，数值计算的代数精度为 O(∆t 2 )，当 ∆t 趋于 0 时颗粒运动速度 Vp 的数值解收敛于精确解. 表 1 夹杂物颗粒和钢液的物性参数 Table 1 Physical parameters of inclusion particles and liquid steel 类型 符号 数值 夹杂物颗粒密度 ρp/(kg·m−3 ) 3600 夹杂物颗粒半径 Dp/µm 10 夹杂物初始速度 Vp/(m·s−1) 0 钢液密度 ρ m/(kg·m−3 ) 7000 钢液黏度 µ m/(N. s·m−2 ) 0.005 钢液温度 T/K 1873

.1440 北京科技大学学报 第35卷 依据大多数研究，考虑夹杂物颗粒只受Stokes力 物颗粒所受Stokes力、Brown力和Basset力的大 和质量力共同作用时，数值模拟得出夹杂物颗粒所 小随时间呈随机脉动变化，夹杂物颗粒所受合力很 受Stokes力随时间变化规律如图2所示.依据实际 难达到平衡.并且Brown力和Basset力与常见 情况受力分析建立的夹杂物颗粒运动控制方程（⑨）， 的Stokes黏性阻力和质量力相比大小处于同一数 数值模拟得到夹杂物颗粒在不同时刻的受力情况如 量级甚至更大，势必会对夹杂物颗粒的运动碰撞去 图3所示 除造成较大的影响.颗粒所受压力梯度力、虚拟质 量力、Saffman力及Magnus力较小，可以忽略不计. 2.2均匀湍流场中夹杂物颗粒的运动规律 由湍流的基本概念可知，湍流运动实际上是由 具有各种不同周期、振幅和方向的三元脉动随机组 合在一起的结果.因此可以使用周期性脉动的流体 流动来代替湍流，研究颗粒在周期性脉动流体中的 运动特性.把湍流场作谱分解，考虑一典型分量，则 均匀湍流场可表示为 /t=5.1×10s Vin cos wt. (11) -10 0.00000.00020.00040.00060.00080.0010 数值模拟时设定湍流脉动频率为10，夹杂物颗 时间/s 粒和钢液的物性参数如表1所示，时间步长△t为 图2静止钢液中夹杂物颗粒只受Stokes力和质量力作用时 10-6s.数值计算的代数精度为O(△t2),当△t趋于 Stokes力变化规律 0时颗粒运动速度的数值解收敛于精确解.分 Fig.2 Stokes force variation law of inclusion particles influ- 别计算出直径D=5,10,50,100um时，夹杂物颗粒 enced by mass force and Stokes force in static liquid steel 在均匀湍流场运动过程中不同时刻的受力情况，结 果如图4所示.同时计算出不同尺寸夹杂物颗粒运 O-Basset.力 动过程中1s内所受Brown力平均值随夹杂物尺寸 O-Brown力 △-质量力 变化规律，结果如图5所示. V-Stokes力 (虚拟质量力 由图5可以看出，均匀湍流场中随着夹杂物颗 144 粒尺寸的变大，颗粒所受Brown力逐渐衰减，主导 夹杂物颗粒运动的主要作用力发生变化.当夹杂物 颗粒直径大于20um时，颗粒所受Brown力基本不 会对其运动造成影响，可以忽略不计.图4表明当 夹杂物颗粒尺寸小于10m时，剧烈的随机布朗运 动会导致颗粒和钢液流场之间产生较大的瞬时速度 1 差，从而产生较大的Basset力、Stokes力和Brown 0.0020.0040.0060.008 0.010 力.Brown力、Basset力以震荡方式在较大尺度范 时间/s 围内变化，Stok©s力则平稳增长.压力梯度力和虚 图3 数值模拟得到的静止钢液中10m夹杂物颗粒受力情 拟质量力则波动较小不会对夹杂物颗粒运动造成较 况 大影响.颗粒所受Basset力和Brown力相比于质量 Fig.3 Force condition of 10 um inclusion particles calculated 力和Stokes力来说数值较大，成为主导夹杂物颗粒 by numeric simulation in static liquid steel 运动的主要作用力.当夹杂物颗粒尺寸大于50m 图2表明，静止钢液中夹杂物颗粒只在Stokes 时，随着颗粒布朗运动的衰减，单位质量颗粒所受 力和质量力共同作用下时，微小夹杂物颗粒（直 Basset力与Stokes力不再随时间震荡变化，而是逐 径D=l0um)所受Stokes力和质量力在时间 渐变大并且与所受质量力大小处于同一数量级.与 t=5.1×10-5s时已经达到平衡，随后夹杂物颗粒 传统意义上认为Stokes力和质量力共同作用引起 将以恒定速度上浮去除.相比之下，依据实际情况 夹杂物颗粒的Stokes上浮去除相比，Basset力也 的受力分析，由图3可以看出，微小夹杂物颗粒 很大程度上影响着夹杂物颗粒的运动，在使用La- (D=10m)布朗运动较为剧烈，夹杂物颗粒和钢 grange模型模拟研究夹杂物颗粒的运动碰撞去除规 液之间会产生较大的瞬时速度差.单位质量夹杂 律时不应忽略不计

· 1440 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 依据大多数研究，考虑夹杂物颗粒只受 Stokes 力 和质量力共同作用时，数值模拟得出夹杂物颗粒所 受 Stokes 力随时间变化规律如图 2 所示. 依据实际 情况受力分析建立的夹杂物颗粒运动控制方程 (9)， 数值模拟得到夹杂物颗粒在不同时刻的受力情况如 图 3 所示. 图 2 静止钢液中夹杂物颗粒只受 Stokes 力和质量力作用时 Stokes 力变化规律 Fig.2 Stokes force variation law of inclusion particles influ￾enced by mass force and Stokes force in static liquid steel 图 3 数值模拟得到的静止钢液中 10 µm 夹杂物颗粒受力情 况 Fig.3 Force condition of 10 µm inclusion particles calculated by numeric simulation in static liquid steel 图 2 表明，静止钢液中夹杂物颗粒只在 Stokes 力和质量力共同作用下时， 微小夹杂物颗粒 (直 径 D=10 µm) 所受 Stokes 力和质量力在时间 t=5.1×10−5 s 时已经达到平衡，随后夹杂物颗粒 将以恒定速度上浮去除. 相比之下，依据实际情况 的受力分析，由图 3 可以看出，微小夹杂物颗粒 (D=10 µm) 布朗运动较为剧烈，夹杂物颗粒和钢 液之间会产生较大的瞬时速度差. 单位质量夹杂 物颗粒所受 Stokes 力、Brown 力和 Basset 力的大 小随时间呈随机脉动变化，夹杂物颗粒所受合力很 难达到平衡. 并且 Brown 力和 Basset 力与常见 的 Stokes 黏性阻力和质量力相比大小处于同一数 量级甚至更大，势必会对夹杂物颗粒的运动碰撞去 除造成较大的影响. 颗粒所受压力梯度力、虚拟质 量力、Saffman 力及 Magnus 力较小，可以忽略不计. 2.2 均匀湍流场中夹杂物颗粒的运动规律 由湍流的基本概念可知，湍流运动实际上是由 具有各种不同周期、振幅和方向的三元脉动随机组 合在一起的结果. 因此可以使用周期性脉动的流体 流动来代替湍流，研究颗粒在周期性脉动流体中的 运动特性. 把湍流场作谱分解，考虑一典型分量，则 均匀湍流场可表示为 Vm = cos wt. (11) 数值模拟时设定湍流脉动频率为 10，夹杂物颗 粒和钢液的物性参数如表 1 所示，时间步长 ∆t 为 10−6 s. 数值计算的代数精度为 O(∆t 2 )，当 ∆t 趋于 0 时颗粒运动速度 Vp 的数值解收敛于精确解. 分 别计算出直径 D=5, 10, 50, 100 µm 时，夹杂物颗粒 在均匀湍流场运动过程中不同时刻的受力情况，结 果如图 4 所示. 同时计算出不同尺寸夹杂物颗粒运 动过程中 1 s 内所受 Brown 力平均值随夹杂物尺寸 变化规律，结果如图 5 所示. 由图 5 可以看出，均匀湍流场中随着夹杂物颗 粒尺寸的变大，颗粒所受 Brown 力逐渐衰减，主导 夹杂物颗粒运动的主要作用力发生变化. 当夹杂物 颗粒直径大于 20 µm 时，颗粒所受 Brown 力基本不 会对其运动造成影响，可以忽略不计. 图 4 表明当 夹杂物颗粒尺寸小于 10 µm 时，剧烈的随机布朗运 动会导致颗粒和钢液流场之间产生较大的瞬时速度 差，从而产生较大的 Basset 力、Stokes 力和 Brown 力. Brown 力、Basset 力以震荡方式在较大尺度范 围内变化，Stokes 力则平稳增长. 压力梯度力和虚 拟质量力则波动较小不会对夹杂物颗粒运动造成较 大影响. 颗粒所受 Basset 力和 Brown 力相比于质量 力和 Stokes 力来说数值较大，成为主导夹杂物颗粒 运动的主要作用力. 当夹杂物颗粒尺寸大于 50 µm 时，随着颗粒布朗运动的衰减，单位质量颗粒所受 Basset 力与 Stokes 力不再随时间震荡变化，而是逐 渐变大并且与所受质量力大小处于同一数量级. 与 传统意义上认为 Stokes 力和质量力共同作用引起 夹杂物颗粒的 Stokes 上浮去除相比，Basset 力也 很大程度上影响着夹杂物颗粒的运动，在使用 La￾grange 模型模拟研究夹杂物颗粒的运动碰撞去除规 律时不应忽略不计

第11期 王耀等：钢液中球状夹杂物颗粒受力情况的数值模拟 ·1441· 300 60 150 30 -30 -150 -60 300(a () 0.0020.0040.0060.008 0.010 90 0.002 0.0040.0060.0080.010 时问/s 时间/s 10 △ 10 △ △△△—△△ 9008 0 -10 -0 -15 (c) -15 000口 (d) 000 一0000 0.0020.0040.0060.0080.010 0.0020.0040.0060.0080.010 时间/s 时间/s a-Basset力 △质量力 小虚拟质量力 o-Brown力 v-Stokes力b-压方梯度 图4数值模拟得到的均匀湍流场中夹杂物颗粒运动过程中的受力情况.(a)颗粒直径D=5m;(b)颗粒直径D=l0um:(c)颗 粒直径D=50um:(d)颗粒直径D=100m Fig.4 Force condition of inclusion particles in homogeneous turbulence field calculated by numeric simulation:(a)particle diameter D=5 um;(b)particle diameter D=10 um;(c)particle diameter D=50 um;(c)particle diameter D=100 um 名 40 受压力梯度力、虚拟质量力、Saffman力及Magnus 力较小可以忽略不计. 32 (2)静止钢液和均匀湍流场中，随着夹杂物颗 24 粒尺寸的变大，颗粒所受Brown力逐渐衰减.当夹 杂物颗粒直径大于20um时，颗粒所受Brown力 16 基本不会对其运动造成影响，可以忽略不计 (3)静止钢液和均匀湍流场中，小于10m的 夹杂物颗粒布朗运动较为剧烈.单位质量夹杂物颗 -0 粒所受Basset力和Brown力较大，成为主导夹杂 10 2030 40 50 物颗粒运动的主要作用力：尺寸较大的夹杂物颗粒 夹杂物颗粒直径/μm (直径D>50um),Basset力、质量力和Stokes力共 图5 数值模拟得到的夹杂物颗粒所受Brown力平均值随 同作用影响夹杂物颗粒的运动、碰撞和去除 尺寸变化规律 Fig.5 Relationship between average Brown force and inclu- 参考文献 sion particle size calculated by numeric simulation [1]Zhang B W,Li B W,Liu Z X.Mathematical simulation 3结论 to the moving trajectory of inclusion particles of tundish in continuous casting process.J Baotou Univ Iron Steel (1)静止钢液和均匀湍流场中，夹杂物颗粒所 Technol,1999.18(2:125

第 11 期 王 耀等：钢液中球状夹杂物颗粒受力情况的数值模拟 1441 ·· 图 4 数值模拟得到的均匀湍流场中夹杂物颗粒运动过程中的受力情况. (a) 颗粒直径 D=5 µm; (b) 颗粒直径 D=10 µm; (c) 颗 粒直径 D=50 µm; (d) 颗粒直径 D=100 µm Fig.4 Force condition of inclusion particles in homogeneous turbulence field calculated by numeric simulation: (a) particle diameter D=5 µm; (b) particle diameter D=10 µm; (c) particle diameter D=50 µm; (c) particle diameter D=100 µm 图 5 数值模拟得到的夹杂物颗粒所受 Brown 力平均值随 尺寸变化规律 Fig.5 Relationship between average Brown force and inclu￾sion particle size calculated by numeric simulation 3 结论 (1) 静止钢液和均匀湍流场中，夹杂物颗粒所 受压力梯度力、虚拟质量力、Saffman 力及 Magnus 力较小可以忽略不计. (2) 静止钢液和均匀湍流场中，随着夹杂物颗 粒尺寸的变大，颗粒所受 Brown 力逐渐衰减. 当夹 杂物颗粒直径大于 20 µm 时，颗粒所受 Brown 力 基本不会对其运动造成影响，可以忽略不计. (3) 静止钢液和均匀湍流场中，小于 10 µm 的 夹杂物颗粒布朗运动较为剧烈. 单位质量夹杂物颗 粒所受 Basset 力和 Brown 力较大，成为主导夹杂 物颗粒运动的主要作用力；尺寸较大的夹杂物颗粒 (直径 D>50 µm)，Basset 力、质量力和 Stokes 力共 同作用影响夹杂物颗粒的运动、碰撞和去除. 参 考 文 献 [1] Zhang B W, Li B W, Liu Z X. Mathematical simulation to the moving trajectory of inclusion particles of tundish in continuous casting process. J Baotou Univ Iron Steel Technol, 1999, 18(2): 125

.1442 北京科技大学学报 第35卷 (张邦文，李保卫，刘中兴.连铸中间包钢液中夹杂物颗粒 Conference.Italy,2002:277 运动轨迹的数值模拟.包头钢铁学院学报，1999,18(2)： [9]Kim MM,Zydney A L.Effect of electrostatic,hydrody- 125) namic and Brownian forces on particle trajectories and [2]Zhang J M,He J C,Li B K.Mathematical simulation sieving in normal flow filtration.J Colloid Interface Sci, to the moving trajectory of inclusion particles of mold in 2004,269(2):425 continuous casting process.Chin J Nonferrous Met,1997, [10 Jiang Y X.Research and Analysis of a Spherical Particle 7(Suppl 1):82 Rising in the Liquid [Dissertation].Dalian:Dalian Uni- (张炯明，赫冀成，李保宽.连铸结晶器中夹杂物粒子运动 versity of Technology,2009 轨迹的数值模拟.中因有色金属学报，1997,7（增刊1）：82) (姜远新.球形颗粒在静止溶液中自由上升行为研究[学位 [3]Deng A Y,He J C,Jia G L.Trajectories of inclusions dur- 论文].大连：大连理工大学，2009) ing solidification of steel square billet.J Northeast Univ [11]Liu X B,Cheng L J.Effects of basset history force on Nat Sci,2000,21(5):532 the motion in a flow field.J Sichuan Inst Technol,1996, (邓安元，赫冀成，贾光霖.方坯凝固过程中夹杂物的运动 15(2):55 轨迹.东北大学学报：自然科学版，2000,21(5)532) (刘小兵，程良骏.Basset力对颗粒运动的影响.四川工业 [4]Gardin P,Domgin J F,Simonnet M,et al.Modeling of in- 学院学报，1996.15(2：55) clusion evolution in a steel ladle.Rev Metall,2008,105(2): [12]Rubinow S I,Keller J B.The transverse force on a spin- 84 [5]You C F,Qi H Y,Xu X C.Progresses and applications of ning sphere moving in a viscous fluid.J Fluid Mech,1961 11(3):447 basset force.Chin J Appl Mech,2002,19(2):31 (由长福，祁海鹰，徐旭常.Basset力研究进展与应用分析. [13]Saffman P G.The lift on a small sphere in a slow shear 应用力学学报，2002.19(2)：31) flow.J Fluid Mech,1965,22(2):385 [6]Liu X B,Cheng L J.Analysis and solution of the La- [14]Huang S H,Li W,Cheng L J.On numeric method of re- grangian particle motion equation.Water Resour Electr solving discrete solid particles'motion equation and its Power,1995,22(1):41 applications.J Hydrodyn,1999,14(1):51 (刘小兵，程良骏.Lagrangian颗粒运动方程的分析和求解. (黄社华，李炜，程良骏任意流场中稀疏颗粒运动方程的 水利电力科技，1995.22(1)：41) 数值解法及其应用.水动力学研究与进展，1999,14(1)：51) [7]Huang S H,Li W,Cheng L J.On equation of discrete solid [15]Li Q Y,Wang N C,Yi D Y.Numerical Analysis.Wuhan: particles motion in arbitrary flow field and its properties. Huazhong University of Science and Technology Press, Appl Math Mech,2000,21(3):297 1988 [8 Zhang L F,Thomas B G.Alumina inclusion behavior dur- (李庆杨，王能超，易大义.数值分析.武汉：华中理工大学 ing steel deoxidation //7th European Electric Steelmaking 出版社，1988)

· 1442 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 (张邦文, 李保卫, 刘中兴. 连铸中间包钢液中夹杂物颗粒 运动轨迹的数值模拟. 包头钢铁学院学报, 1999, 18(2): 125) [2] Zhang J M, He J C, Li B K. Mathematical simulation to the moving trajectory of inclusion particles of mold in continuous casting process. Chin J Nonferrous Met, 1997, 7(Suppl 1): 82 (张炯明, 赫冀成, 李保宽. 连铸结晶器中夹杂物粒子运动 轨迹的数值模拟. 中国有色金属学报, 1997, 7(增刊 1): 82) [3] Deng A Y, He J C, Jia G L. Trajectories of inclusions dur￾ing solidification of steel square billet. J Northeast Univ Nat Sci, 2000, 21(5): 532 (邓安元, 赫冀成, 贾光霖. 方坯凝固过程中夹杂物的运动 轨迹. 东北大学学报: 自然科学版, 2000, 21(5): 532) [4] Gardin P, Domgin J F, Simonnet M, et al. Modeling of in￾clusion evolution in a steel ladle. Rev Metall, 2008, 105(2): 84 [5] You C F, Qi H Y, Xu X C. Progresses and applications of basset force. Chin J Appl Mech, 2002, 19(2): 31 (由长福, 祁海鹰, 徐旭常. Basset 力研究进展与应用分析. 应用力学学报, 2002, 19(2): 31) [6] Liu X B, Cheng L J. Analysis and solution of the La￾grangian particle motion equation. Water Resour Electr Power, 1995, 22(1): 41 (刘小兵, 程良骏. Lagrangian 颗粒运动方程的分析和求解. 水利电力科技, 1995, 22(1): 41) [7] Huang S H, Li W, Cheng L J. On equation of discrete solid particles motion in arbitrary flow field and its properties. Appl Math Mech, 2000, 21(3): 297 [8] Zhang L F, Thomas B G. Alumina inclusion behavior dur￾ing steel deoxidation // 7th European Electric Steelmaking Conference. Italy, 2002: 277 [9] Kim M M, Zydney A L. Effect of electrostatic, hydrody￾namic and Brownian forces on particle trajectories and sieving in normal flow filtration. J Colloid Interface Sci, 2004, 269(2): 425 [10] Jiang Y X. Research and Analysis of a Spherical Particle Rising in the Liquid [Dissertation]. Dalian: Dalian Uni￾versity of Technology, 2009 (姜远新. 球形颗粒在静止溶液中自由上升行为研究 [学位 论文]. 大连: 大连理工大学, 2009) [11] Liu X B, Cheng L J. Effects of basset history force on the motion in a flow field. J Sichuan Inst Technol, 1996, 15(2): 55 (刘小兵, 程良骏. Basset 力对颗粒运动的影响. 四川工业 学院学报, 1996, 15(2): 55) [12] Rubinow S I, Keller J B. The transverse force on a spin￾ning sphere moving in a viscous fluid. J Fluid Mech, 1961, 11(3): 447 [13] Saffman P G. The lift on a small sphere in a slow shear flow. J Fluid Mech, 1965, 22(2): 385 [14] Huang S H, Li W, Cheng L J. On numeric method of re￾solving discrete solid particles’ motion equation and its applications. J Hydrodyn, 1999, 14(1): 51 (黄社华, 李炜, 程良骏. 任意流场中稀疏颗粒运动方程的 数值解法及其应用. 水动力学研究与进展, 1999, 14(1): 51) [15] Li Q Y, Wang N C, Yi D Y. Numerical Analysis. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology Press, 1988 (李庆杨, 王能超, 易大义. 数值分析. 武汉: 华中理工大学 出版社, 1988)