第11期 王耀等：钢液中球状夹杂物颗粒受力情况的数值模拟 ,1439· 带动流体流动，使颗粒相对速度较高的一边流体速 1.3夹杂物运动方程的数值求解 度增加，压强减小：而另一边的流体速度减小，压 由式(9)可以看出，夹杂物颗粒的运动控制 强增加.结果使颗粒向流体速度较高的一边流动， 方程为一非线性微分积分方程.Basset力中积分 这种现象称为Magnus效应.Magnus力的计算公式 项为一奇异积分并且被积函数含有未知待求函数 为2 dV/t,极难获得解析解，因此考虑数值解法.依 FM=CM· 3emIVn -Vpl (Vm-Vp). (6) 据上述特点对运动方程中Basset力的积分项通过 Appdp 复合梯形求积公式进行适当变换建立了如下的数值 式中：CLM为Magnus力系数，一般情况下其值可 计算格式4： 以取为1.0间 n-2 1.1.7 Saffman力 +2 g(ih) g(t-h) 夹杂物颗粒在有速度梯度的钢液流场中运动 h 时，因表面各处的速度不一样，故表面各点的压 +g(t)+g(t-hlv万 (10) 力不一样.这样颗粒将受到一个升力的作用，称为 Saffman力.其计算公式为3) 式中：g(r)=d(Vm-V)/dr,t为积分时间上 Fis=Cs· 6KsHeft Pm .(Vm-V).(7) 限，h=△t=t/n为积分时间步长.式(10)格式 Ppadp 的代数精度为二阶精度O(△t2)同，当△t趋于0时 式中：ξ表示垂直某一坐标方向上的钢液流体速度 数值解收敛于精确解.数值差分格式(10)可以解 在此方向上的梯度；K表示Saffman力系数，取 决Basset力积分项的奇异性，对于未知待求函数 1.615:Cs为Saffman力修正系数. dVp/t可以将式(9)和(10)联立起来，使用四级四 1.1.8 Brown力 阶Runge-Kutta法进行初值迭代，对夹杂物颗粒运 在钢液高温条件下，微米级及以下尺寸的夹 动速度V进行求解.由数值分析理论可得，只要 杂物颗粒的布朗运动不容忽视.布朗运动的夹杂物 选定适当的时间步长，就可以保证上述数值计算格 颗粒所受Brown力常被模拟成高斯-白噪音过 式的收敛性和精度 程，Brown力在数值模拟过程中的计算公式为倒 2结果和讨论 126 FR= 3μes kBT 使用上述夹杂物颗粒运动控制方程和数值差 (8) Pp rd△t 分格式，分别对静止钢液和均匀湍流场中不同尺 式中：如为波尔兹曼常数，取1.38×10-23JK-1:T 寸的夹杂物的运动速度V进行数值计算.由于静 为钢液的热力学温度，K;△t是数值模拟时设定的 止钢液和均匀湍流场中速度梯度不大，可以忽略 时间步长，5：6是服从标准正态分布的随机变量的 Saffman力和Magnus力，只考虑其余作用力对 矢量形式. 颗粒运动的影响.数值计算时对式（⑨）进行修改去 1.2夹杂物颗粒的运动方程 除Saffman力和Magnus力项. 依据上述夹杂物颗粒的受力分析以及牛顿第 2.1静止钢液中夹杂物颗粒的运动规律 二定律，可以建立Lagrange模型下颗粒在任意流 在三维无界静止流场中，数值计算时使用的夹 场中的运动方程： 杂物颗粒和钢液的物性参数如表1所示.时间步长 △t=10-6s,数值计算的代数精度为O(△t2),当△t 业-（-) .3emV-Vol(V-Vp)+ g+CD'ppdp 趋于0时颗粒运动速度V的数值解收敛于精确解. 表1夹杂物颗粒和钢液的物性参数 2m dVm Camdm)+CB: Pm·leff Table 1 Physical parameters of inclusion particles and liquid Pp dt dt steel d(V-Vp)/dd+CpVVol(Va-Vp) 类型 符号 数值 夹杂物颗粒密度 Vt-T 4ppdp Pp/(kg-m-3) 3600 夹杂物颗粒半径 Dp/um 10 1/2 夹杂物初始速度 Vp/(m.s-1) 0 6Ksμef 126 (Vm-p)+ 3μefkBT +CLs 钢液密度 pm/(kg-m-3) 7000 πppdp Pp rd8△t 钢液黏度 μm/Nsm-2) 0.005 (9) 钢液温度 T/K 1873第 11 期 王 耀等：钢液中球状夹杂物颗粒受力情况的数值模拟 1439 ·· 带动流体流动，使颗粒相对速度较高的一边流体速 度增加，压强减小；而另一边的流体速度减小，压 强增加. 结果使颗粒向流体速度较高的一边流动， 这种现象称为 Magnus 效应. Magnus 力的计算公式 为 [12] FLM = CLM · 3ρm 4ρpdp |Vm − Vp|(Vm − Vp). (6) 式中：CLM 为 Magnus 力系数，一般情况下其值可 以取为 1.0[9] . 1.1.7 Saffman 力 夹杂物颗粒在有速度梯度的钢液流场中运动 时，因表面各处的速度不一样，故表面各点的压 力不一样. 这样颗粒将受到一个升力的作用，称为 Saffman 力. 其计算公式为 [13] FLS = CLS · 6Ksµeff ρpπdp µ ρmξ µeff ¶1 2 · (Vm − Vp). (7) 式中：ξ 表示垂直某一坐标方向上的钢液流体速度 在此方向上的梯度；Ks 表示 Saffman 力系数，取 1.615；CLS 为 Saffman 力修正系数. 1.1.8 Brown 力 在钢液高温条件下，微米级及以下尺寸的夹 杂物颗粒的布朗运动不容忽视. 布朗运动的夹杂物 颗粒所受 Brown 力常被模拟成高斯 - 白噪音过 程，Brown 力在数值模拟过程中的计算公式为 [9] FR = 12δ ρp s 3µeffkBT πd 5 p∆t . (8) 式中：kB 为波尔兹曼常数，取 1.38×10−23 J·K−1；T 为钢液的热力学温度，K；∆t 是数值模拟时设定的 时间步长，s；δ 是服从标准正态分布的随机变量的 矢量形式. 1.2 夹杂物颗粒的运动方程 依据上述夹杂物颗粒的受力分析以及牛顿第 二定律，可以建立 Lagrange 模型下颗粒在任意流 场中的运动方程： dVp dt = µ 1 − ρm ρp ¶ ·g+CD· 3ρm 4ρpdp |Vm − Vp|(Vm−Vp)+ ρm ρp · dVm dt +Cm· ρm 2ρp · d(Vm − Vp) dt +CB· 9 ρpdp r ρm · µeff π · Z t 0 d(Vm − Vp)/dτ √ t − τ dτ+CLM· 3ρm 4ρpdp |Vm − Vp|(Vm−Vp) +CLS· 6KSµeff πρpdp µ ρmξ µeff ¶1/2 (Vm−Vp)+12δ ρp s 3µeffkBT πd 5 p∆t . (9) 1.3 夹杂物运动方程的数值求解 由式 (9) 可以看出，夹杂物颗粒的运动控制 方程为一非线性微分积分方程. Basset 力中积分 项为一奇异积分并且被积函数含有未知待求函数 dVp/dt，极难获得解析解，因此考虑数值解法. 依 据上述特点对运动方程中 Basset 力的积分项通过 复合梯形求积公式进行适当变换建立了如下的数值 计算格式 [14]： FB = 1 2 " g(0) √ t + 2 nX−2 i=1 g (ih) √ t − ih + g(t − h) √ h # + [g(t) + g(t − h)] √ h. (10) 式中：g(τ ) = d(Vm − Vp)/dτ，t 为积分时间上 限，h = ∆t = t/n 为积分时间步长. 式 (10) 格式 的代数精度为二阶精度 O(∆t 2 ) [15]，当 ∆t 趋于 0 时 数值解收敛于精确解. 数值差分格式 (10) 可以解 决 Basset 力积分项的奇异性，对于未知待求函数 dVp/dt 可以将式 (9) 和 (10) 联立起来，使用四级四 阶 Runge-Kutta 法进行初值迭代，对夹杂物颗粒运 动速度 Vp 进行求解. 由数值分析理论可得，只要 选定适当的时间步长，就可以保证上述数值计算格 式的收敛性和精度 [15] . 2 结果和讨论 使用上述夹杂物颗粒运动控制方程和数值差 分格式，分别对静止钢液和均匀湍流场中不同尺 寸的夹杂物的运动速度 Vp 进行数值计算. 由于静 止钢液和均匀湍流场中速度梯度不大，可以忽略 Saffman 力和 Magnus 力 [11]，只考虑其余作用力对 颗粒运动的影响. 数值计算时对式 (9) 进行修改去 除 Saffman 力和 Magnus 力项. 2.1 静止钢液中夹杂物颗粒的运动规律 在三维无界静止流场中，数值计算时使用的夹 杂物颗粒和钢液的物性参数如表 1 所示. 时间步长 ∆t=10−6 s，数值计算的代数精度为 O(∆t 2 )，当 ∆t 趋于 0 时颗粒运动速度 Vp 的数值解收敛于精确解. 表 1 夹杂物颗粒和钢液的物性参数 Table 1 Physical parameters of inclusion particles and liquid steel 类型 符号 数值 夹杂物颗粒密度 ρp/(kg·m−3 ) 3600 夹杂物颗粒半径 Dp/µm 10 夹杂物初始速度 Vp/(m·s−1) 0 钢液密度 ρ m/(kg·m−3 ) 7000 钢液黏度 µ m/(N. s·m−2 ) 0.005 钢液温度 T/K 1873