内江师范学院学报 ·76 JOURNAL OF NEIJIANG NORMAL UNIVERSITY 已知调和函数求解析函数的新方法 王凡彬 (内江师范学院数学与信息科学学院/四川省数据恢复重点实验室，四川内江641199) 摘要：利用解析函数的唯一性定理，针对不同情况下的单连通区域的情形，分别得到了几种已知调和函数求 解析函数的新方法，并对这些新方法给与了严格的证明.最后，给出了新方法的应用.实践表明，这些新方法是简捷 可行的. 关键词：调和函数：解析函数：新方法 D0I:10.13603/j.cnki.51-1621/z.2015.06.016 中图分类号：0174.3文献标志码：A文章编号：1671-1785(2015)06一0076一04 已知单连通区域D内的一个调和函数，来求一 DCD.令y=0,那么 个解析函数f(z),在目前的教材上，有折线积分法 f(x）=u(x,0)-u,(x,0)i,(x,0)∈D1. 和不定积分法山.也有一些学者探讨了另外一些方 所以 法[2-1，其中文[2一6]利用已知的调和函数u(x, f(z)=uz(之，0)一t.(之，0)i,y=0,(x,0)∈D1, y),直接写出解析函数f(z);文[7-8]应用的是不 则 同于[1]的一种不定积分法；文[9]使用了一个统一 的公式：文[10]使用的也是一种积分法.这些方法有 f(z)=(,(x,0）-4,(z,0)i)dz+c 些虽然是可行的，但方法不够简捷；有些方法不够成 y=0,(x,0)∈D1. 熟、完善和严谨，且使用受到一定的限制.本文探讨 显然，f(之)是D1上的解析函数 了一些方便、实用的方法，并给与了严格的证明.新 设 方法应用范围广泛，使这个问题得到了较为完美的 g(z)=(u.(z,0)-,(z,0)i)dz+c,之∈D, 解决. c为复常数，则在D内g(z)是解析函数.事实上， 当单连通区域D包含横坐标轴的一部分时，探 讨已知调和函数求解析函数的新方法 是-器+器)- d泛 y 定理1设u(x,y)是单连通区域D内的调和 函数，定点A(x。,0)∈D,则在D内 2u,(,0)-%,,0i+i0u.(,0i- f(z)=(u(z,0)-4,(z,0)i)dz+c (1) u,(,0i]=2,(,0)-,(,0i- 是以u(x,y)为实部的解析函数，其中c为复常数. 4.(2,0)+4,(2,0)i门=0. 证明在D内，f(z)=ux(x,y)一，(x,y)i. 说明g(z)确是D内的解析函数.注意到g(z)与 因为A(xo,0)∈D,则存在以A点为心的邻域 f(z)在D1内的一段直线(x,0)∈D1上是相等的， 收稿日期：2015-04-20 基金项目：教育部数学与应用数学专业综合改革试点项目(ZG0464),四川省高校数值仿真与数学实验教学示范中心项目 (O1247) 作者简介：王凡彬(1957一)，男，四川富顺人，内江师范学院教授.研究方向：偏微分方程及其应用 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net内江师范学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＥＩＪＩＡＮＧ ＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ 第３０卷第６期 Ｎｏ．６Ｖｏｌ．３０ 已知调和函数求解析函数的新方法 王 凡 彬＊ （内江师范学院 数学与信息科学学院／／四川省数据恢复重点实验室， 四川 内江 ６４１１９９） 摘 要：利用解析函数的唯一性定理，针对不同情况下的单连通区域的情形，分别得到了几种已知调和函数求 解析函数的新方法，并对这些新方法给与了严格的证明．最后，给出了新方法的应用．实践表明，这些新方法是简捷 可行的． 关键词：调和函数；解析函数；新方法 ＤＯＩ：１０．１３６０３／ｊ．ｃｎｋｉ．５１－１６２１／ｚ．２０１５．０６．０１６ 中图分类号：Ｏ１７４．３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－１７８５（２０１５）０６－００７６－０４ 已知单连通区域Ｄ 内的一个调和函数，来求一 个解析函数ｆ（ｚ），在目前的教材上，有折线积分法 和不定积分法 ［１］ ．也有一些学者探讨了另外一些方 法 ［２－１５］ ，其中文［２－６］利 用 已 知 的 调 和 函 数ｕ（ｘ， ｙ），直接写出 解 析 函 数ｆ（ｚ）；文［７－８］应 用 的 是 不 同于［１］的一种不定积分法；文［９］使用了一个统一 的公式；文［１０］使用的也是一种积分法．这些方法有 些虽然是可行的，但方法不够简捷；有些方法不够成 熟、完善和严谨，且使用受到一定的限制．本文探讨 了一些方便、实用的方法，并给与了严格的证明．新 方法应用范围广泛，使这个问题得到了较为完美的 解决． 当单连通区域 Ｄ 包含横坐标轴的一部分时，探 讨已知调和函数求解析函数的新方法． 定理１ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ａ（ｘ０，０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ （１） 是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 在Ｄ 内，ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｘ，ｙ）－ｕｙ（ｘ，ｙ）ｉ． 因为Ａ（ｘ０，０）∈ Ｄ ，则存在以Ａ 点为心的邻域 Ｄ１  Ｄ ．令ｙ＝０，那么 ｆ ′ （ｘ）＝ｕｘ（ｘ，０）－ｕｙ（ｘ，０）ｉ，（ｘ，０）∈ Ｄ１ ． 所以 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ，ｙ＝０，（ｘ，０）∈ Ｄ１ ， 则 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ， ｙ＝０，（ｘ，０）∈ Ｄ１ ． 显然，ｆ（ｚ）是 Ｄ１ 上的解析函数． 设 ｇ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈Ｄ ， ｃ为复常数，则在 Ｄ 内ｇ（ｚ）是解析函数．事实上， ｇ（ｚ） ｚ－ ＝ １ ２（ｇ ｘ＋ｉｇ ｙ ）＝ １ ２［ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ＋ｉ（ｕｘ（ｚ，０）ｉ－ ｕｙ（ｚ，０）ｉｉ）］＝ １ ２［ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ－ ｕｘ（ｚ，０）＋ｕｙ（ｚ，０）ｉ］＝０． 说明ｇ（ｚ）确 是 Ｄ 内 的 解 析 函 数．注 意 到 ｇ（ｚ）与 ｆ（ｚ）在Ｄ１ 内的一段直线 （ｘ，０）∈Ｄ１ 上是相等的， · ６７ · ＊ 收稿日期：２０１５－０４－２０ 基金项目：教育部数学与应用数学专业综合改革试点项目（ＺＧ０４６４），四川省高校数值仿真与数学实验教学示范中心项目 （Ｏ１２４７） 作者简介：王凡彬（１９５７－），男，四川富顺人，内江师范学院教授．研究方向：偏微分方程及其应用