2015年6月 王凡彬：己知调和函数求解析函数的新方法 ·77· 且g(z)的实部在该段直线上也是u(x,0).由解析 定理3设u(x,y)是单连通区域D内的调和 函数的唯一性定理们，在D内这两个函数相等，即 函数，定点B(0,yo)∈D,则在D内 所求的以u(x,y)为实部的解析函数就是 f)=](u:(0,)-4,(0,)iDdz+c(3) f(x)=(u(z,0)-u,(z,0)i)dz+c,之∈D, 是以u(x,y)为实部的解析函数，其中c为复常数. c为复常数. 证明在D内 注1定理1中所说f(z)是以u(x,y)为实部 f(z)=u (x,y)-u(x,y)i. 的解析函数，是在略去一个常数的意义下所说的，下 因为B(0,y)∈D,则存在以B点为心的邻域 同. D:CD,令x=0,那么 定理2设v(x,y)是单连通区域D内的调和 f(x)=(0,y)-4,(0,y)i,(0,y)∈D2. 函数，定点A(x0,0)∈D,则在D内 取y=兰，则 f(z)=(,(z,0)+0(z,0)i)dz+c (2) 是以(x,y)为虚部的解析函数，其中c为复常数 f(x)=4:(0,)-4,(0,)i,x=0,(0,)∈D2, 证明在D内 那么 f(z)=,(x,y)+o（x,y)i. fx)=ju,(0,)-u,(0,)id+c, 因为A(x0,0)∈D,则存在以A点为心的邻域D,CD. 令y=0,那么 x=0,(0,y)∈D2. f(x)=,(x,0)+(x,0)i,(x,0)∈D1, 显然，f(z)是D2上的解析函数. 设 所以 f(z)=u,(z,0)+v(2,0)i,y=0,(x,0)∈D1. I(z)=(u,(0,)-4,(0,三)i)dz+c,z∈D, 则 c为复常数，因为 f(z)=(,(z,0)+u,(z,0)i)dz+c a12=号(+i)= 2 ax ay y=0,(x,0)∈D1. 显然，f()是D1上的解析函数. 2[,0,)-“,0,i+ 等 i(u,(0,)-4,(0,÷)i0]= h(z)=(v,(2,0)+v,(z,0)i)dz+c,zED,c 为复常数，因为 u(,)-%,0,i- 2-+）=,0)+ 2 ax ∂y u(0,)+4,(0,兰)i门=0。 巴，(，0)i+i(u,(z,0)i+,(z,0)ii)]= 说明I()确是D内的解析函数.注意到I(z)与 2[,(,0)+w.0i- f(z)在D2内的一段直线(0，y)∈D2上是相等的， 且I(z)的实部在该段直线上也是u(0,y).由解析 0,(2,0)-z(z,0)i门=0. 函数的唯一性定理)，在D内这两个函数相等，即 所以h()是D内的解析函数.注意到h(z)与f(z) 所求的以u(x,y)为实部的解析函数就是 在D1内的一段直线(x,0)∈D1上是相等的，且 h(z)的虚部在该段直线上也是(x,0),由解析函 f)=J(u,(0,)-4,(0,)iDd+c,2∈D,c 数的唯一性定理]，在D内这两个函数相等，即所 为复常数 求的以o(x,y)为虚部的解析函数就是 定理4设(x,y)是单连通区域D内的调和 f(z)=(v,(z,0)+v,(z,0)i)dz+c,zE D, 函数，定点B(0,yo)∈D,则在D内 c为复常数. f(z)=(u,(0,)+,(0)iDdz+c(4) 如果单连通区域D包含纵坐标轴的一部分时， 是以v(x,y)为虚部的解析函数，其中c为复常数. 探讨已知调和函数求解析函数的新方法. 证明仿定理2可以证明. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net２０１５年６月 王凡彬：已知调和函数求解析函数的新方法 且ｇ（ｚ）的实部在该段直线上也是ｕ（ｘ，０）．由解析 函数的唯一性 定 理［１］，在 Ｄ 内 这 两 个 函 数 相 等，即 所求的以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数就是 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈Ｄ ， ｃ为复常数． 注１ 定理１中所说ｆ（ｚ）是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部 的解析函数，是在略去一个常数的意义下所说的，下 同． 定理２ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ａ（ｘ０，０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ （２） 是以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 在 Ｄ 内 ｆ ′ （ｚ）＝ｖｙ（ｘ，ｙ）＋ｖｘ（ｘ，ｙ）ｉ． 因为Ａ（ｘ０，０）∈Ｄ ，则存在以Ａ 点为心的邻域Ｄ１Ｄ． 令ｙ＝０，那么 ｆ ′ （ｘ）＝ｖｙ（ｘ，０）＋ｖｘ（ｘ，０）ｉ，（ｘ，０）∈Ｄ１ ， 所以 ｆ ′ （ｚ）＝ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ，ｙ＝０，（ｘ，０）∈Ｄ１ ． 则 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ， ｙ＝０，（ｘ，０）∈Ｄ１ ． 显然，ｆ（ｚ）是 Ｄ１ 上的解析函数． 设 ｈ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈Ｄ ，ｃ 为复常数，因为 ｈ（ｚ） ｚ－ ＝１ ２（ｈ ｘ＋ｉｈ ｙ ）＝１ ２［ｖｙ（ｚ，０）＋ ｖｘ（ｚ，０）ｉ＋ｉ（ｖｙ（ｚ，０）ｉ＋ｖｘ（ｚ，０）ｉｉ）］＝ １ ２［ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ－ ｖｙ（ｚ，０）－ｖｘ（ｚ，０）ｉ］＝０． 所以ｈ（ｚ）是Ｄ 内的解析函数．注意到ｈ（ｚ）与ｆ（ｚ） 在 Ｄ１ 内 的 一 段 直 线 （ｘ，０）∈ Ｄ１ 上 是 相 等 的，且 ｈ（ｚ）的虚部在该段直线上也是ｖ（ｘ，０）．由解析 函 数的唯一性定理 ［１］ ，在 Ｄ 内这两个函数相等，即所 求的以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数就是 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈Ｄ ， ｃ为复常数． 如果单连通区域 Ｄ 包含纵坐标轴的一部分时， 探讨已知调和函数求解析函数的新方法． 定理３ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ｂ（０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ （３） 是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 在 Ｄ 内 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｘ，ｙ）－ｕｙ（ｘ，ｙ）ｉ． 因为 Ｂ（０，ｙ０）∈ Ｄ ，则 存 在 以 Ｂ 点 为 心 的 邻 域 Ｄ２  Ｄ ．令ｘ ＝０，那么 ｆ ′ （ｘ）＝ｕｘ（０，ｙ）－ｕｙ（０，ｙ）ｉ，（０，ｙ）∈ Ｄ２ ． 取ｙ＝ ｚ ｉ ，则 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ，ｘ ＝０，（０，ｙ）∈ Ｄ２ ， 那么 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ， ｘ ＝０，（０，ｙ）∈ Ｄ２ ． 显然，ｆ（ｚ）是 Ｄ２ 上的解析函数． 设 Ｉ（ｚ）＝∫（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈ Ｄ ， ｃ为复常数，因为 Ｉ（ｚ） ｚ－ ＝ １ ２（Ｉ ｘ＋ｉＩ ｙ ）＝ １ ２［ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ＋ ｉｉ（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）］＝ １ ２［ｕｘ（ｚ，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ－ ｕｘ（０，ｚ ｉ）＋ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ］＝０． 说明Ｉ（ｚ）确 是 Ｄ 内 的 解 析 函 数．注 意 到Ｉ（ｚ）与 ｆ（ｚ）在Ｄ２ 内的一段直线 （０，ｙ）∈Ｄ２ 上是相等的， 且Ｉ（ｚ）的实部在该段直线上也是ｕ（０，ｙ）．由解析 函数的唯一性定理 ［１］ ，在 Ｄ 内这两个函数相等，即 所求的以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数就是 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈ Ｄ ，ｃ 为复常数． 定理４ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ｂ（０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（０，ｚ ｉ）＋ｖｘ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ （４） 是以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 仿定理２可以证明． · ７７ ·