·78. 内江师范学院学报 第30卷第6期 在定理1、定理2、定理3、定理4中，要求单连 通区域D必须包含实轴或虚轴的一部分，现在把结 vid+e (4) 果推广到更一般的情形，有 是以v(x,y)为虚部的解析函数，其中c为复常数. 定理5设u(x,y)是单连通区域D内的调和 定理6、7、8可仿照前面相关定理进行证明，不 函数，定点C(xo,%)∈D,则在D内 再赘述. 注2定理1、2、3、4实际分别是定理5、6、7、8 f(z)=(uz(z-iy%,yo） 在y%=0或x0=0的特殊情形，即定理1、2、3、4分 u (z-iyo,yo)i)dz+c (5) 别是定理5、6、7、8的特例. 是以u(x,y)为实部的解析函数，其中c为复常数. 对比现有结果，定理1、2、3、4方法更多样化， 证明在D内 应用更灵活；而定理5、6、7、8更具一般性，适用于所 f(z)=u(x,y)-4,(x,y)i 有的单连通区域的情形.且8个定理所叙述的方法 因为C(xo,y%)∈D,则存在以C点为心的邻域 都得到了严格的证明. D,CD.令y=%,那么 例1已知u(x,y)=x3-3.xy2是之平面上的 f(x+iyo)=u (x,yo)-u(x,yo)i, 解析函数，求以u(x,y)为实部的解析函数f(z), (x,yo)∈Ds. 使满足f(0)=i. 取x十iy=之，则 解应用定理1 f(z)=u,(z-iyo,yo)-u,(z-iyo,yo)i, f(z)=4(x,y)-w,(x,y)i= y=y%,(x,yo)∈D3. 3x2-3y2+6xyi. 所以 令y=0,则f(x)=3x2,即f(z)=32, f(z)=(4z(之-i%y%)-4,(之-iyoy%)i)dz+c, f()=3z2dz+c=z+c. y=o,(x,yo)∈Da. 由f(0)=i,得c=i,从而f(z)=23+i. 以下可仿定理1的证明，应用解析函数的唯一性定 例2 y 理，可知在单连通区域D内也有 已知x》=十y是R-0, O)}上的调和函数，求以v(x,y)为虚部的解析函数 f(2)=(u(-iyo,%)- f(x),使满足f(2)=0. 4,(z-iyoy%)i)dz十c,∈D, 解应用定理2 c为复常数. f(z)=(x,y)+u,(x,y)i= 定理6设(x,y)是单连通区域D内的调和 x2-y2 2xy 函数，定点(xo,y%)∈D,则在D内 （+y)(x年y 令y=0,则 f(z)=(,(之-iy%y）+ v (z-iyo,yo)i)dz+c (6) f(0=f(e)=， 是以(x,y)为虚部的解析函数，其中c为复常数. 定理7设u(x,y)是单连通区域D内的调和 e=∫+c=-+e. 函数，定点(xoyo)∈D,则在D内 由2)=0得c=号从而：)=言- 从以上两个例子来看，利用相关定理来解决这 类问题是相当简捷的。 (d+ (7) 参考文献： 是以u(x,y)为实部的解析函数，其中c为复常数. [1]钟玉泉.复变函数论[M门.4版.北京：高等教育出版 定理8设v(x,y)是单连通区域D内的调和 社，2014. 函数，定点(xoy%)∈D,则在D内 [2]贺福利.复变函数中由调和函数求解析函数的方法[山].数 f)=((,二)+ 学理论与应用，2010,30(4)：122-128. i [3]王兴权.关于解析函数中的一个问题].辽宁师范大学学 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net内江师范学院学报 第３０卷第６期 在定理１、定理２、定 理３、定 理４中，要 求 单 连 通区域 Ｄ 必须包含实轴或虚轴的一部分，现在把结 果推广到更一般的情形，有 定理５ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ｃ（ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）－ ｕｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ）ｄｚ＋ｃ （５） 是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 在 Ｄ 内 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｘ，ｙ）－ｕｙ（ｘ，ｙ）ｉ． 因为Ｃ（ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则 存 在 以 Ｃ 点 为 心 的 邻 域 Ｄ３  Ｄ ．令ｙ＝ｙ０ ，那么 ｆ ′ （ｘ＋ｉｙ０）＝ｕｘ（ｘ，ｙ０）－ｕｙ（ｘ，ｙ０）ｉ， （ｘ，ｙ０）∈ Ｄ３ ． 取ｘ＋ｉｙ０ ＝ｚ，则 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）－ｕｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ， ｙ＝ｙ０，（ｘ，ｙ０）∈ Ｄ３ ． 所以 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）－ｕｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ）ｄｚ＋ｃ， ｙ＝ｙ０，（ｘ，ｙ０）∈ Ｄ３ ． 以下可仿定理１的证明，应用解析函数的唯一性定 理，可知在单连通区域 Ｄ 内也有 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）－ ｕｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈ Ｄ ， ｃ为复常数． 定理６ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点 （ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）＋ ｖｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ）ｄｚ＋ｃ （６） 是以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数，其中ｃ为复常数． 定理７ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点 （ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｘ０，ｚ－ｘ０ ｉ ）－ ｕｙ（ｘ０，ｚ－ｘ０ ｉ ）ｉ）ｄｚ＋ｃ （７） 是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数，其中ｃ为复常数． 定理８ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点 （ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｘ０，ｚ－ｘ０ ｉ ）＋ ｖｘ（ｘ０，ｚ－ｘ０ ｉ ）ｉ）ｄｚ＋ｃ （４） 是以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数，其中ｃ为复常数． 定理６、７、８可仿照前面相关定理进行证明，不 再赘述． 注２ 定理１、２、３、４实际分别是定理５、６、７、８ 在ｙ０ ＝０或ｘ０ ＝０的特殊情形，即定理１、２、３、４分 别是定理５、６、７、８的特例． 对比现有结果，定理１、２、３、４方法更 多 样 化， 应用更灵活；而定理５、６、７、８更具一般性，适用于所 有的单连通区域的情形．且８个定理所叙述的方法 都得到了严格的证明． 例１ 已知ｕ（ｘ，ｙ）＝ｘ３－３ｘｙ２ 是ｚ平面上的 解析函 数，求 以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数ｆ（ｚ）， 使满足ｆ（０）＝ｉ． 解 应用定理１ ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｘ，ｙ）－ｕｙ（ｘ，ｙ）ｉ＝ ３ｘ２ －３ｙ２ ＋６ｘｙｉ． 令ｙ＝０，则ｆ ′ （ｘ）＝３ｘ２ ，即ｆ ′ （ｚ）＝３ｚ２ ， ｆ（ｚ）＝∫３ｚ２ ｄｚ＋ｃ＝ｚ３ ＋ｃ． 由ｆ（０）＝ｉ，得ｃ＝ｉ，从而ｆ（ｚ）＝ｚ３ ＋ｉ． 例２ 已 知ｖ（ｘ，ｙ）＝ ｙ ｘ２ ＋ｙ２ 是 Ｒ２ － ｛（０， ０）｝上的调和函数，求以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数 ｆ（ｚ），使满足ｆ（２）＝０． 解 应用定理２ ｆ ′ （ｚ）＝ｖｙ（ｘ，ｙ）＋ｖｘ（ｘ，ｙ）ｉ＝ ｘ２ －ｙ２ （ｘ２ ＋ｙ２）２ － ２ｘｙ （ｘ２ ＋ｙ２）２ｉ． 令ｙ＝０，则 ｆ ′ （ｘ）＝ １ ｘ２ ，ｆ ′ （ｚ）＝ １ ｚ２ ， ｆ（ｚ）＝∫１ ｚ２ｄｚ＋ｃ＝－ １ ｚ＋ｃ． 由ｆ（２）＝０，得ｃ＝ １ ２ ，从而ｆ（ｚ）＝ １ ２－１ ｚ ． 从以上两个例子来看，利用相关定理来解决这 类问题是相当简捷的． 参考文献： ［１］钟玉泉．复 变 函 数 论 ［Ｍ］．４版．北 京：高 等 教 育 出 版 社，２０１４． ［２］贺福利．复变函数中由调和函数求解析函数的方法 ［Ｊ］．数 学理论与应用，２０１０，３０（４）：１２２－１２８． ［３］王兴权．关于解析函数中的一个问题 ［Ｊ］．辽宁师范大学学 · ８７ ·