由假设 ()ldt=K<∞, 因此当t≥0时, )≤ Klrolexp(K/1B()ld)=kloe<∞ 即(1)的所有解当t≥0时也有界 6.设a,B,7,6,∈都是正数,x≥0,y≥0,求出方程组 dkr dt--az+Bx2-nry, =-oy +ery 的所有定常解并讨论其稳定性 解:求解代数方程组 - ar+Br -yry=0, -dy +ery=0 得原方程组有三个驻定解: r:(x(1,y()≡(0,0),I:(x(,y(t)≡(,0) II:(x(t),y(t)≡(=, 对驻定解I,其线性部分的系数矩阵为 -a0 它的两个特征根-α,-6均为负实数,因此渐近稳定 对驻定解Ⅰ,其线性部分的系数矩阵为 g 0-6+ 它至少有一个正特征根α,因此不稳定。 对驻定解ⅠⅠ,其线性部分的系数矩阵为 46(6-ae) 当△<0时,它的特征根为一对共轭复数 当△=0时,它的特征根为实重根;当△>0时,它的特征根为相异实根 在这三种情况下它至少有一个特征根有正实部,因此不稳定2 由假设， Z +∞ 0 |B(t)|dt = K <˜ ∞, 因此当t ≥ 0时， |x(t)| ≤ K|x0| exp(K Z +∞ 0 |B(t)|dt) = K|x0|e KK˜ < ∞. 即(1)的所有解当t ≥ 0时也有界. 6. 设 α, β, γ, δ, ² 都是正数, x ≥ 0, y ≥ 0, 求出方程组 dx dt = −αx + βx2 − γxy, dy dt = −δy + ²xy 的所有定常解并讨论其稳定性. 解: 求解代数方程组 −αx + βx2 − γxy = 0, −δy + ²xy = 0 得原方程组有三个驻定解： I : (x(t), y(t)) ≡ (0, 0), II : (x(t), y(t)) ≡ ( α β , 0), III : (x(t), y(t)) ≡ ( δ ² , βδ γ² − α γ ). 对驻定解I, 其线性部分的系数矩阵为：   −α 0 0 −δ   它的两个特征根−α, −δ均为负实数，因此渐近稳定。 对驻定解II, 其线性部分的系数矩阵为：   α − αγ β 0 −δ + α² β   它至少有一个正特征根α，因此不稳定。 对驻定解III, 其线性部分的系数矩阵为：   βδ ² − γδ ² βδ−α² γ 0   令 ∆ = (βδ ² ) 2 − 4δ(βδ − α²) ² . 当∆ < 0时，它的特征根为一对共轭复数 λ1,2 = βδ 2² ± 1 2 √ −∆i; 当∆ = 0时，它的特征根为实重根βδ 2² ; 当∆ > 0时，它的特征根为相异实根 λ1,2 = βδ 2² ± 1 2 √ ∆. 在这三种情况下它至少有一个特征根有正实部，因此不稳定