习题62 3.设p>0,b>0,p,q均为正整数且q≥2.给定方程组 dt=1-kr-ry, dt=b(r'y'-y) 作变量变换,使其定常解(x(,y(4)=(,0)对应于新方程组的零解并讨论其稳定性 解:作变 1,=y,则原方程组变成为 d=m-(u+1yP3,=Ma+2-) 性部分的系数矩阵为 u 0 它的两个特征根-,-1均为负实数,因此由定理22知原方程组的驻定解(x(1,y()≡(,0)渐近稳 4.考虑下列两个方程组 (A+B())r, dr ar 其中A为常数值矩阵,B(t)为t≥0上的连续矩阵值函数,且满足条件 B(t)dt<∞, 用定理22的证明方法证明若(2)的所有解当t≥0时有界,则(1)的所有解当t≥0时也有界 证明:首先因为(1)和(2)都是线性方程组且右边的系数矩阵连续,因此它们的所有解的最大存在 区间均为t∈(-∞,+∞) 现在设Φ(t)是方程组(2)的满足φ(0)=E的基本解矩阵。由常数变易公式,(1)满足初值条 件r(0)=x0的解为 r(t)=d(t) ro+/(t-T)B()x(r)dr 由假设,存在常数K>0,使得当t≥0时 (D)≤K, 因此由(3)知当t≥0时, r()lsKIzol+K/B()z()ldr 再由 Gronwall不等式得:当t≥0时, (O)< Klrolexp(K/IB()ldr)1 习 题 6.2 3. 设 µ > 0, b > 0, p, q 均为正整数且 q ≥ 2. 给定方程组 dx dt = 1 − µx − x p y q , dy dt = b(x p y q − y), 作变量变换, 使其定常解 (x(t), y(t)) ≡ ( 1 µ , 0) 对应于新方程组的零解并讨论其稳定性. 解: 作变换u = x − 1 µ , v = y，则原方程组变成为 du dt = −µu − (u + 1 µ ) p v q , dv dt = b((u + 1 µ ) p v q − v), 其线性部分的系数矩阵为： A =   −µ 0 0 −1   它的两个特征根−µ, −1均为负实数，因此由定理2.2知原方程组的驻定解(x(t), y(t)) ≡ ( 1 µ , 0)渐近稳 定。 4. 考虑下列两个方程组 dx dt = (A + B(t))x, (1) dx dt = Ax, (2) 其中 A 为常数值矩阵, B(t) 为 t ≥ 0 上的连续矩阵值函数, 且满足条件 Z +∞ 0 |B(t)|dt < ∞, 用定理 2.2 的证明方法证明若 (2) 的所有解当 t ≥ 0 时有界, 则 (1) 的所有解当 t ≥ 0 时也有界. 证明: 首先因为(1)和(2)都是线性方程组且右边的系数矩阵连续, 因此它们的所有解的最大存在 区间均为t ∈ (−∞, +∞). 现在设Φ(t)是方程组(2) 的满足Φ(0) = E的基本解矩阵。由常数变易公式，(1)满足初值条 件x(0) = x0的解为： x(t) = Φ(t)x0 + Z t 0 Φ(t − τ )B(τ )x(τ )dτ. (3) 由假设，存在常数K > 0，使得当t ≥ 0时， |Φ(t)| ≤ K, 因此由(3)知当t ≥ 0时， |x(t)| ≤ K|x0| + K Z t 0 |B(τ )||x(τ )|dτ. 再由Gronwall不等式得：当t ≥ 0时， |x(t)| ≤ K|x0| exp(K Z t 0 |B(τ )|dτ )