36 线性代数重点难点30讲 第8讲矩阵的秩 矩阵A的秩R(A)=矩阵A行向量组的秩=矩阵A列向量组的秩=矩库A中不为零的子式 的最高阶数如果矩阵A经初等变换变为B,则R(A)=R(B).也就是说初等变换不改变矩阵的秩 因此求矩咋秩的基本方注有:①定义法(即求矩阵A中不为零的子式的最高阶数)(本讲讨论);②初等 变换法即将矩阵A进行行变换变为阶梯形矩阵B则R(A)=R(B)=B中不为零的行数;也可以行 列初等变换用用将A化为其等价标准形B.则R(A)=R(B)=B的对角线上1的个数本讲讨论); ③利用向量组求秩法(将在第10讲中讨论) 按定义求 例1用定义求下列矩阵的秩 30751 02-436 cosa sing 1 (2)00 00049 00000 00009641 002102 (3) 043576 143 解按定义,矩阵A的秩等于A中最高阶非零子行列式的阶数 cosa sIna (1)D2= =co32a+sin2a=1≠0,故该矩阵秩r=2 sing CsQ (2)由于 所以该矩阵秩r=4 (3)因为前4列副对角线上有一个元素为零.因此,取前3列与后3列中某一列使其为 一个三角阵,且副对角线上元素之积不为零,从而有最高阶子式 0022 36/≠0 78-40