第八部分常微分方程第8页共16页 (x2+1)C+ x x 27.求微分方程(1+e")dx+e”(1--)dhy=0的通解 解:将y看成自变量,则x=x(y)是y的函数。由于原方程是齐次型方程,令n(y)=x, 原微分方程化为 e +u 这是一个变量可分离的方程,解得 所以原方程的通解为 C 另解:令P(x,y)=1+e",Q(x,y)=e”(1-3),则OP(xy) dO(,y) 所以,在y>0时,原方程为全微分方程。令 (xy)=C+e)+(-, 由于此曲线积分与路径无关,所以v(x,y)就是全微分式(+e)b+e'(1-x)by的一个原 函数,且 u(x)y)=[(+e)+e(-3 (0,1) y =e(1-)y+(+e”)dr =y-1+x+y(e-1) 所以原方程的通解为 v+x=C。第八部分 常微分方程 第 8 页 共 16 页 8 = = 2 y z ( ) 2 2 2 ( 1)( ln( 1)) 16 1 z = x + C + x + 。 27．求微分方程 (1+ ) + (1− )dy = 0 y x e dx e y x y x 的通解。 解：将 y 看成自变量，则 x = x( y) 是 y 的函数。由于原方程是齐次型方程，令 y x u( y) = ， 原微分方程化为 +1 +  = − u u e e u yu ， 这是一个变量可分离的方程，解得 y e u C u ( + ) = 。 所以原方程的通解为 ye x C y x + = 。 另解：令 P(x, y) = 1+ e , Q(x, y) = y x (1 ) y x e y x − ，则 x Q x y e y x y P x y y x   = − =   ( , ) ( , ) 2 ， 所以，在 y  0 时，原方程为全微分方程。令  = + + − ( , ) (0,1) ( , ) (1 ) (1 ) x y y x y x dy y x u x y e dx e ， 由于此曲线积分与路径无关，所以 u(x, y) 就是全微分式 dy y x e dx e y x y x (1+ ) + (1− ) 的一个原 函数，且 1。 1 ( 1) ) (1 ) 0 (1 ( , ) (1 ) (1 ) 1 0 0 ( , ) (0,1) = + − = − + + − = − + + = + + −    ye x y x y e dy e dx y e dy y x u x y e dx e y x y x x y x y y x y y x y x 所以原方程的通解为 ye x C y x + =