《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 a,≤c.≤b,且ma,=m6.=l,则mc=1 证明na,=mb,=l-e>0,3N,N2,当n>N时，1-6<a.<1+5:当n>N, 时，1-6<b.<I+8,取。=mNN,N,M,则当”>N时以上两式与己知条件中的不等式 同时成立，故有n>N时1-E<a≤c,≤6，<1+G一c。-kE即血c,=1 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法。 推论若V,当n>N时有asc,≤b.（或，sc,≤a)且血6，=a,则mC。=a 例求证=石0(a>0. 证明k∈N使得k>a,从而当n>k时有 a'aa 由于册府n=府血=0由推论即可得结论 例设4，a,a是m个正数，证明ma+a+g=ma,a,a). 证明设4=mWa,a,a),则4≤@+a+asmA m>1→血m=1,由迫敛性得结论. 例1m6-1(a>) 在证明中，令么=G-1>0,a=0+点，箱0<么<分，由比推出九→0， 由此例也看出由×<：，<y和血x,=a人，也推出血，=0 例2证明所=1 证明令万-1+，《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 5 n n bn a  c  ，且 n→ lim an = n→ lim b l n = ，则 n→ lim c l n = . 证明 n→ lim an = n→ lim b l n =    0， 1 2 N ,N , 当 n  N1 时， l −  a  l +  n ；当 n  N2 时， l −  b  l +  n ,取 max( , , ) N0 = N1 N2 N ，则当 n  N0 时以上两式与已知条件中的不等式 同时成立，故有 n  N0 时 l −  a  c  b  l +  n n n  | c − l |  n 即 n→ lim c l n = . 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法. 推论 若 N ，当 n  N 时有 n bn a  c  （或 bn  cn  a ）且 bn a n = → lim ，则 cn a n = → lim . 例 求证 n→ lim 0 ! = n a n （ a  0 ）. 证明  k 使得 k  a ，从而当 n  k 时有 0  n! a n n a k a n a k a k a a a k     + =     1 2 1 !   , 由于 n→ lim n a k a k  ! = k! a k n→ lim n a = 0 由推论即可得结论. 例 设 1 a ， 2 a ，.， m a 是 m 个正数，证明 n→ lim max( , , , ) 1 2 1 2 m n n m n n a + a +a = a a  a . 证明 设 max( , , ) A = a1 a2 am ，则 A  n n m n n a1 + a2 +a mA n  m 1 n→ lim n m = 1 ，由迫敛性得结论. 例 1 lim =1 ( 1) → a a n n . 在证明中, 令 = −1  0 n hn a ， n a hn = (1+ ) ，得 n a 0  hn  ，由此推出 hn → 0 . 由此例也看出由 n n n x  z  y 和 n n n n x a y → → lim = = lim , 也推出 zn a n = → lim . 例 2 证明 lim =1 → n n n . 证明 令 n n n =1+ h