数由§22定理5,(Xv)在上是一个测度,称这个测度为和v的乘积测度,仍 记为xv.称测度空间(X×Y,Mm,×V)为(X,,)与(X,罗,v)乘积空间.由§ 22定理10,测度空间(X×Y220x,×V)是完备的容易证明若和V都是σ-有限 的,则Xv也是G一有限的(其证明留作习题) 由第一章习题第26题的结果知道σ(C)=σ().由.A×乃的定义和§22定理5,我 们有 因此Xv也是A×罗上的测度.有时也称测度空间(X×Y,4×,Axv)为(X,A,p) 与(,,v)乘积空间 下面我们将证明 Fubini定理为此需要作一些准备 设 ECXXY,x∈X.称集Ex={y∈:(x,y)∈E}为E在x的截口.类似地,对 y∈Y,称集E,={x∈X:(x,y)∈E}为E在y的截口.注意E和E,分别是Y和X 的子集(图6-2) E E 容易验证关于截口成立 ()(UE)2=U(En) (i1).(E-F)2=E2-F 同样,关于y的截口也成立类似的性质 定理3设(X,A,p)和(Y,,v)是两个a-有限的测度空间,E∈.×.则 ()对任意x∈X,必有Ex∈ (i).v(E2)和是(X,A,p)上的可测函数.并且成立等式 (XV(E)=ME, du126 数. 由 2.2 定理 5, ∗ (µ ×ν ) 在Mµ×ν 上是一个测度, 称这个测度为 µ 和ν 的乘积测度, 仍 记为 µ ×ν . 称测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 为 (X , A,µ) 与 (Y, B,ν ) 乘积空间. 由 2.2.定理 10, 测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 是完备的. 容易证明若 µ 和ν 都是σ − 有限 的, 则 µ ×ν 也是σ − 有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第 26 题的结果知道σ (C ) =σ (R ). 由A ×B 的定义和 2.2定理 5, 我 们有 A ×B =σ (C ) =σ (R ) ⊂ Mµ×ν . 因此 µ ×ν 也是 A ×B 上的测度. 有时也称测度空间(X ×Y,A ×B,µ ×ν )为(X , A,µ) 与(Y, B,ν ) 乘积空间. 下面我们将证明 Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设 E ⊂ X ×Y, x ∈ X. 称集 E {y Y : (x, y) E} x = ∈ ∈ 为 E 在 x 的截口. 类似地, 对 y ∈Y, 称集 E {x X : (x, y) E} y = ∈ ∈ 为 E 在 y 的截口. 注意 Ex 和 Ey 分别是Y 和 X 的子集(图 6 2). 图 6 2 容易验证关于截口成立 (i). ( ) ( ) , 1 1 U U ∞ = ∞ = = n x n x n En E (ii). ( ) . E − F x = Ex − Fx 同样, 关于 y 的截口也成立类似的性质. 定理 3 设(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个σ − 有限的测度空间, E ∈ A ×B . 则 (i).对任意 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex ( ) ii). ( ν Ex 和是(X , A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (3) X Y Ex Ey x y E        14 244 4 344