证明(i).设C是可测矩形的全体令 T={E∈4×B:对任意x∈X,E2∈} 若E=A×B∈C,则当x∈A时,Ex=B.当xgA时,E2=.故对任意 x∈X,E∈B.因此Cc丌.利用截口的性质容易证明J是一个-代数.因此得 到AX=(C)∈.即对任意x∈X必有Ex∈ (i)先设W(Y)<+.由本定理的结论(),对任意x∈X,必有E∈.故函数 v(Ex)有意义令 丌={E∈Ax罗:以(Ex)是.A可测的} 若E=A×B是一个可测矩形,则vE)=v(B)A(x)是4可测的这表明Cc界.往 证是一个A类.显然Xxy∈丌.设E,F∈并且E彐F.注意到 v(Fx)≤v(Y)<+∞,我们有 (E-F)2)=v(Ex-F2)=v(E)-(F) 故v(E-F)2)是A可测的因此E-F∈,即对包含差运算封闭再设 {En}∈并且En个.则(En)个.于是有 V(,=VU(E,))=limv((E,),) 由上式看出v(UEn),)是4可测的因此∪En∈丌,即对单调增加的集列的并运 算封闭.所以牙是包含C的一个λ类.注意到C是一个丌类.由§1.3推论12,我们有 A×B=a(C)c分 即对任意E∈x,(E2)是可测的若vY)=+∞.由于(Y,B,v是a一有限的 因此存在Y的一列互不相交的可测集{x}使得v(x)<+∞并且Y=∪Fn,对每个 n≥1,在上定义测度 (B)=v(B∩Y),B∈ 则v(Y)=v(X)<+0.设E∈.×B.则由上面所证,每个n≥1,vn(E)是A可测 的.我们有 E) E2∩n)=∑v(E2∩H)=∑v(E) 由此可见v(E)是可测的 在A×上定义集函数A如下127 证明 (i).设C 是可测矩形的全体. 令 F = { ∈ A ×B : ∈ , ∈B}. X Ex E 对任意x 若 E = A× B ∈C , 则 当 x ∈ A 时 , E B. x = 当 x ∉ A 时 , = ∅. Ex 故对任意 x∈ X , ∈B. Ex 因此C ⊂ F . 利用截口的性质容易证明F 是一个σ − 代数. 因此得 到 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 x ∈ X 必有 ∈B. Ex (ii) 先设ν (Y) < +∞. 由本定理的结论 (i), 对任意 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex 故函数 ( ) ν Ex 有意义. 令 F { A B : ( )是A 可测的}. = E ∈ × ν Ex 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E ) (B)I (x) ν x =ν A 是 A 可测的. 这表明C ⊂ F . 往 证 F 是一个 λ 类 . 显 然 X ×Y ∈ F . 设 E, F ∈ F 并 且 E ⊃ F. 注意到 (F ) ≤ (Y) < +∞, ν x ν 我们有 (( ) ) ( ) ( ) ( ). ν E − F x =ν Ex − Fx =ν Ex −ν Fx 故 (( ) ) ν E − F x 是 A 可测的. 因此 E − F ∈ F , 即F 对包含差运算封闭.再设 {En } ⊂ F 并且 ↑ . En 则( ) ↑ . En x 于是有 (( ) ) ( ( ) ) lim (( ) ). 1 1 n x n n x n x n ν En ν E ν E →∞ ∞ = ∞ = U = U = 由上式看出 (( ) ) 1 x n UEn ∞ = ν 是 A 可测的. 因此 ∈ ∞ = U n 1 En F , 即F 对单调增加的集列的并运 算封闭. 所以F 是包含C 的一个λ 类. 注意到C 是一个π 类. 由 1.3.推论 12, 我们有 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 E ∈ A ×B , ( ) ν Ex 是 A 可测的. 若ν (Y) = +∞. 由于(Y, B,ν ) 是σ − 有限的, 因此存在 Y 的一列互不相交的可测集{ } Yn 使得ν (Yn ) < +∞ 并且 . 1 U ∞ = = n Y Yn 对每个 n ≥ 1, 在B 上定义测度 ν n (B) =ν (B ∩Yn ), B ∈ B. 则 ( ) = ( ) < +∞. ν n Y ν Yn 设 E ∈ A ×B . 则由上面所证, 每个 n ≥ 1, ( ) ν n Ex 是 A 可测 的. 我们有 ( ) ( ( )) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = ∩ = ∩ = n n x n x n n ν Ex ν U Ex Yn ν E Y ν E 由此可见 ( ) ν Ex 是 A 可测的. 在A ×B 上定义集函数λ 如下: